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Theorem axrepndlem2 8473
Description: Lemma for the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axrepndlem2  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )

Proof of Theorem axrepndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axrepndlem1 8472 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. w
( E. y A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) ) )
2 nfnae 2045 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 2045 . . . . 5  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1847 . . . 4  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfnae 2045 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
6 nfnae 2045 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
75, 6nfan 1847 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
8 nfnae 2045 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
9 nfnae 2045 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
108, 9nfan 1847 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
11 nfs1v 2184 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [ w  /  x ] ph
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x [ w  /  x ] ph )
13 nfcvf 2596 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
1413adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
15 nfcvf 2596 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
1615adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
1714, 16nfeqd 2588 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  =  y )
1812, 17nfimd 1828 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y ) )
1910, 18nfald 1872 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y ) )
207, 19nfexd 1874 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. y A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y ) )
21 nfcvd 2575 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
2214, 21nfeld 2589 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  w )
23 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
2421, 16nfeld 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
257, 12nfald 1872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y [ w  /  x ] ph )
2624, 25nfand 1844 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) )
2723, 26nfexd 1874 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) )
2822, 27nfbid 1855 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) )
2910, 28nfald 1872 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) )
3020, 29nfimd 1828 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( E. y A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) ) )
31 nfcvd 2575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y w )
32 nfcvf2 2597 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
3332adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y x )
3431, 33nfeqd 2588 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
357, 34nfan1 1846 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
36 nfcvd 2575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z w )
37 nfcvf2 2597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
3837adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z x )
3936, 38nfeqd 2588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ z  w  =  x )
4010, 39nfan1 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
41 sbequ12r 1946 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  ( [ w  /  x ] ph  <->  ph ) )
4241imbi1d 310 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) )
4342adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) )
4440, 43albid 1789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  <->  A. z
( ph  ->  z  =  y ) ) )
4535, 44exbid 1790 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. y A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  <->  E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) ) )
46 elequ2 1731 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  x ) )
4746adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  x ) )
48 elequ1 1729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
4948adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
5041adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( [ w  /  x ] ph  <->  ph ) )
5135, 50albid 1789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y [ w  /  x ] ph  <->  A. y ph ) )
5249, 51anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5352ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
544, 26, 53cbvexd 1989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5554adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5647, 55bibi12d 314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
5740, 56albid 1789 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
5845, 57imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( E. y A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
5958ex 425 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( E. y A. z
( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) ) )
604, 30, 59cbvexd 1989 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( E. y A. z ( [ w  /  x ] ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  w  <->  E. w ( w  e.  y  /\  A. y [ w  /  x ] ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
611, 60syl5ib 212 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
6261imp 420 1  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550   E.wex 1551   F/wnf 1554   [wsb 1659   F/_wnfc 2561
This theorem is referenced by:  axrepnd  8474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563
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