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Theorem axrepprim 25151
Description: ax-rep 4320 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axrepprim  |-  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )

Proof of Theorem axrepprim
StepHypRef Expression
1 axrepnd 8469 . 2  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
2 df-ex 1551 . . . . 5  |-  ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  <->  -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
3 df-an 361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
43exbii 1592 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
5 exnal 1583 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) 
<->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
64, 5bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
76bibi2i 305 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
)  <->  ( A. y 
z  e.  x  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) ) )
8 dfbi1 185 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  <->  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
97, 8bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
)  <->  -.  ( ( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
109albii 1575 . . . . 5  |-  ( A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
112, 10imbi12i 317 . . . 4  |-  ( ( E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <-> 
( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
1211exbii 1592 . . 3  |-  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
13 df-ex 1551 . . 3  |-  ( E. x ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 241 . 2  |-  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
151, 14mpbi 200 1  |-  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-reg 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-nul 3629  df-sn 3820  df-pr 3821
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