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Theorem axrepprim 24048
Description: ax-rep 4131 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axrepprim  |-  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )

Proof of Theorem axrepprim
StepHypRef Expression
1 axrepnd 8216 . 2  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
2 df-ex 1529 . . . . 5  |-  ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  <->  -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
3 df-an 360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
43exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
5 exnal 1561 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) 
<->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
64, 5bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
76bibi2i 304 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
)  <->  ( A. y 
z  e.  x  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) ) )
8 dfbi1 184 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  <->  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
97, 8bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
)  <->  -.  ( ( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
109albii 1553 . . . . 5  |-  ( A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
112, 10imbi12i 316 . . . 4  |-  ( ( E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <-> 
( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
1211exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
13 df-ex 1529 . . 3  |-  ( E. x ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 240 . 2  |-  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
151, 14mpbi 199 1  |-  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-nul 3456  df-sn 3646  df-pr 3647
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