Theorem axresscn 5240

Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 2 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axresscn	|- RR (_ CC

Proof of Theorem axresscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2070	. . 3 |- R. (_ R.
2		0r 5161	. . . 4 |- 0R e. R.
3		snssi 2457	. . . 4 |- (0R e. R. -> {0R} (_ R.)
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 |- {0R} (_ R.
5		ssxp 3246	. . 3 |- ((R. (_ R. /\ {0R} (_ R.) -> (R. X. {0R}) (_ (R. X. R.))
6	1, 4, 5	mp2an 695	. 2 |- (R. X. {0R}) (_ (R. X. R.)
7		df-r 5216	. 2 |- RR = (R. X. {0R})
8		df-c 5212	. 2 |- CC = (R. X. R.)
9	6, 7, 8	3sstr4 2090	1 |- RR (_ CC

Syntax hints:   e. wcel 955   (_ wss 2037  {csn 2399   X. cxp 3158  R.cnr 4965  0Rc0r 4966  CCcc 5204  RRcr 5205

This theorem is referenced by:  ax1cn 5241  reex 5284  recnt 5285  recn 5286  nnsscn 5876  nn0sscn 6051  qsscn 6203  ser1mono 6274  reexpclt 6512  rpexpclt 6514  nthruc 6676  seq1ublem 6848  ser1absdiflem 6866  climserzle 7083  climsup 7091  caucvglem2 7094  caucvg 7099  cvgcmp2clem 7118  cvgcmp3c 7122  abscncf 7210  recncf 7211  imcncf 7212  ivthlem4 7219  ivthlem6 7221  ivthlem7 7222  ivthlem8 7223  ivthlem9 7224  isupivth 7225  ivthOLD 7233  ivth2OLD 7234  reeff1 7350  reeff1olem1 7364  reeff1olem1OLD 7366  reeff1o 7368  remetba 7848  readdsubg 8066  abscncfALT 8278  ipasslem7 8427  pilem1 8590  efifolem1 8637  circgrp 8660

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-enr 5138  df-nr 5139  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216

Copyright terms: Public domain