Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Unicode version

Theorem axrrecex 8739
 Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 8763. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axrrecex
StepHypRef Expression
1 elreal 8707 . . . 4
2 df-rex 2522 . . . 4
31, 2bitri 242 . . 3
4 neeq1 2427 . . . 4
5 oveq1 5785 . . . . . 6
65eqeq1d 2264 . . . . 5
76rexbidv 2537 . . . 4
84, 7imbi12d 313 . . 3
9 df-0 8698 . . . . . . 7
109eqeq2i 2266 . . . . . 6
11 vex 2760 . . . . . . 7
1211eqresr 8713 . . . . . 6
1310, 12bitri 242 . . . . 5
1413necon3bii 2451 . . . 4
15 recexsr 8683 . . . . . 6
1615ex 425 . . . . 5
17 opelreal 8706 . . . . . . . . . 10
1817anbi1i 679 . . . . . . . . 9
19 mulresr 8715 . . . . . . . . . . . 12
2019eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . 11
21 df-1 8699 . . . . . . . . . . . . 13
2221eqeq2i 2266 . . . . . . . . . . . 12
23 ovex 5803 . . . . . . . . . . . . 13
2423eqresr 8713 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24bitri 242 . . . . . . . . . . 11
2620, 25syl6bb 254 . . . . . . . . . 10
2726pm5.32da 625 . . . . . . . . 9
2818, 27syl5bb 250 . . . . . . . 8
29 oveq2 5786 . . . . . . . . . 10
3029eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9
3130rcla4ev 2852 . . . . . . . 8
3228, 31syl6bir 222 . . . . . . 7
3332exp3a 427 . . . . . 6
3433rexlimdv 2639 . . . . 5
3516, 34syld 42 . . . 4
3614, 35syl5bi 210 . . 3
373, 8, 36gencl 2784 . 2
3837imp 420 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621   wne 2419  wrex 2517  cop 3603  (class class class)co 5778  cnr 8443  c0r 8444  c1r 8445   cmr 8448  cr 8690  cc0 8691  c1 8692   cmul 8696 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ec 6616  df-qs 6620  df-ni 8450  df-pli 8451  df-mi 8452  df-lti 8453  df-plpq 8486  df-mpq 8487  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-erq 8491  df-plq 8492  df-mq 8493  df-1nq 8494  df-rq 8495  df-ltnq 8496  df-np 8559  df-1p 8560  df-plp 8561  df-mp 8562  df-ltp 8563  df-plpr 8633  df-mpr 8634  df-enr 8635  df-nr 8636  df-plr 8637  df-mr 8638  df-ltr 8639  df-0r 8640  df-1r 8641  df-m1r 8642  df-c 8697  df-0 8698  df-1 8699  df-r 8701  df-mul 8703
 Copyright terms: Public domain W3C validator