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Theorem axsegcon 25778
Description: Any segment  A B can be extended to a point  x such that  B x is congruent to  C D. Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Scott Fenton, 4-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegcon  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem axsegcon
Dummy variables  k  p  t  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axsegconlem1 25768 . . . . 5  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
21ex 424 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
3 simprll 739 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
4 simprlr 740 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
5 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  A  =/=  B
)
6 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )
7 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 )  =  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 )
8 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 )  =  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 )
9 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )
107, 8, 9axsegconlem8 25775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( EE `  N
) )
117, 8axsegconlem7 25774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
127, 8, 9axsegconlem10 25777 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) )
137, 8, 9axsegconlem9 25776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
14 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( x `  i
)  =  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) )
1514oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( t  x.  (
x `  i )
)  =  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )
1615oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i
) )  +  ( t  x.  ( x `
 i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) )
1716eqeq2d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <-> 
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
1817ralbidv 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
1914oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( B `  i )  -  (
x `  i )
)  =  ( ( B `  i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )
2019oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B `  i
)  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 ) )
2120sumeq2sdv 12461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 ) )
2221eqeq1d 2420 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
2318, 22anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) ) )
24 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
2524oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i
) ) )
26 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) )  =  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )
2725, 26oveq12d 6066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) )
2827eqeq2d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  <-> 
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  (
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
2928ralbidv 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  / 
( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ) ) )
3029anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 ) )  x.  ( A `  k
) ) )  / 
( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) ) )
3123, 30rspc2ev 3028 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( EE `  N
)  /\  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) ) )  x.  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( ( ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  p
)  -  ( D `
 p ) ) ^ 2 ) ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 p )  -  ( D `  p ) ) ^ 2 ) )  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
3210, 11, 12, 13, 31syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
333, 4, 5, 6, 32syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
3433ex 424 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
352, 34pm2.61ine 2651 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
36 simpllr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
37 simplll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
38 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  x  e.  ( EE `  N ) )
39 brbtwn 25750 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( B  Btwn  <. A ,  x >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( B  Btwn  <. A ,  x >. 
<->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) ) ) )
41 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
42 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
43 brcgr 25751 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( <. B ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
4436, 38, 41, 42, 43syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( <. B ,  x >.Cgr
<. C ,  D >.  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
4540, 44anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <-> 
( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
46 r19.41v 2829 . . . . 5  |-  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )  <->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
4745, 46syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  /\  x  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
4847rexbidva 2691 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  -> 
( E. x  e.  ( EE `  N
) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\ 
<. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
4935, 48mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
50493adant1 975 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) ( B  Btwn  <. A ,  x >.  /\  <. B ,  x >.Cgr <. C ,  D >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   <.cop 3785   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   [,]cicc 10883   ...cfz 11007   ^cexp 11345   sqrcsqr 12001   sum_csu 12442   EEcee 25739    Btwn cbtwn 25740  Cgrccgr 25741
This theorem is referenced by:  cgrtriv  25848  segconeu  25857  btwntriv2  25858  btwnouttr2  25868  btwndiff  25873  ifscgr  25890  cgrxfr  25901  lineext  25922  btwnconn1lem13  25945  btwnconn1lem14  25946  segcon2  25951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-ee 25742  df-btwn 25743  df-cgr 25744
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