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Theorem axsegconlem1 25857
Description: Lemma for axsegcon 25867. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    t, N, i, x    t, A, i, x    t, B, i, x    t, C, i, x    t, D, i, x

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 25841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
213ad2antl1 1120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
3 fveere 25841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  k )  e.  RR )
433ad2antl2 1121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  k )  e.  RR )
5 fveere 25841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  k )  e.  RR )
653ad2antl3 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( D `  k )  e.  RR )
74, 6resubcld 9466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) )  e.  RR )
82, 7resubcld 9466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR )
98ralrimiva 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) )  e.  RR )
10 eleenn 25836 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
11 mptelee 25835 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
13123ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
149, 13mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) ) )  e.  ( EE
`  N ) )
15 fveecn 25842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
16153ad2antl1 1120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
17 fveecn 25842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
18173ad2antl2 1121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
19 fveecn 25842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  i )  e.  CC )
20193ad2antl3 1122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( D `  i )  e.  CC )
21 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2221subid1i 9373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2322oveq1i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  =  ( 1  x.  ( B `  i )
)
24 mulid2 9090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  i )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
25243ad2ant1 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
1  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
2623, 25syl5eq 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  0 )  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
27 subcl 9306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  -  ( D `  i )
)  e.  CC )
28 subcl 9306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) )  e.  CC )
2927, 28sylan2 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i
)  e.  CC ) )  ->  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  CC )
30293impb 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  CC )
3130mul02d 9265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
0  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  0 )
3226, 31oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  =  ( ( B `
 i )  +  0 ) )
33 addid1 9247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  i )  e.  CC  ->  (
( B `  i
)  +  0 )  =  ( B `  i ) )
34333ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( B `  i
)  +  0 )  =  ( B `  i ) )
3532, 34eqtr2d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
3616, 18, 20, 35syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
3736ralrimiva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) )
3818, 20subcld 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) )  e.  CC )
3916, 38nncand 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) )
4039oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
4140sumeq2dv 12498 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
42 0elunit 11016 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
43 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( x `  i
)  =  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) ) ) `  i ) )
44 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
45 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( C `  k )  =  ( C `  i ) )
46 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( D `  k )  =  ( D `  i ) )
4745, 46oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) )  =  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )
4844, 47oveq12d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) )
49 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )
50 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  _V
5148, 49, 50fvmpt 5807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) ) `  i
)  =  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )
5243, 51sylan9eq 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x `  i )  =  ( ( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) )
5352oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( t  x.  ( x `  i
) )  =  ( t  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
5453oveq2d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) )
5554eqeq2d 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) )  +  ( t  x.  ( x `
 i ) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
5655ralbidva 2722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) ) )
5752oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) )  =  ( ( B `  i
)  -  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
5857oveq1d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( B `  i )  -  ( x `  i ) ) ^
2 )  =  ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5958sumeq2dv 12498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 ) )
6059eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) )
6156, 60anbi12d 693 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
62 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
6362oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  0  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i
) ) )
64 oveq1 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
6563, 64oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
6665eqeq2d 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
6766ralbidv 2726 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
6867anbi1d 687 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
6961, 68rspc2ev 3061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7042, 69mp3an2 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7114, 37, 41, 70syl12anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
72713expb 1155 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7372adantll 696 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
74 fveq1 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  i )  =  ( B `  i ) )
7574oveq2d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) ) )
7675oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) ) )
7776eqeq2d 2448 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) ) ) )
7877ralbidv 2726 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) ) ) )
7978anbi1d 687 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
80792rexbidv 2749 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
8173, 80syl5ibr 214 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
8281imp 420 1  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    - cmin 9292   NNcn 10001   2c2 10050   [,]cicc 10920   ...cfz 11044   ^cexp 11383   sum_csu 12480   EEcee 25828
This theorem is referenced by:  axsegcon  25867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-icc 10924  df-fz 11045  df-seq 11325  df-sum 12481  df-ee 25831
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