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Theorem axsegconlem10 25580
Description: Lemma for axsegcon 25581. Show that the scaling constant from axsegconlem7 25577 produces the betweenness condition for  A,  B and  F. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem7.2  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem8.3  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
axsegconlem10  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    D, p    N, p    A, i, k    B, i, k    C, i, k    D, i, k    i, N, k    S, i, k    T, i, k    i, p
Allowed substitution hints:    S( p)    T( p)    F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem10
StepHypRef Expression
1 axsegconlem7.2 . . . . . . . 8  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
21axsegconlem4 25574 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  RR )
32ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  RR )
4 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
5 fveere 25555 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
64, 5sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
73, 6remulcld 9050 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  RR )
87recnd 9048 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9 axsegconlem2.1 . . . . . . . . 9  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
109axsegconlem4 25574 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  S
)  e.  RR )
11103adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
1211ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
13 axsegconlem8.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
149, 1, 13axsegconlem8 25578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
15 fveere 25555 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
1614, 15sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
1712, 16remulcld 9050 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  e.  RR )
1817recnd 9048 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  e.  CC )
19 readdcl 9007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2011, 2, 19syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2221recnd 9048 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  CC )
23 0re 9025 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  e.  RR )
2511adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
269axsegconlem6 25576 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
2726adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
281axsegconlem5 25575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  T ) )
2928adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_  ( sqr `  T
) )
30 addge01 9471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( sqr `  T )  <->  ( sqr `  S )  <_  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
3111, 2, 30syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
0  <_  ( sqr `  T )  <->  ( sqr `  S )  <_  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
3229, 31mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  S )  <_ 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )
3324, 25, 20, 27, 32ltletrd 9163 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <  ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )
3433gt0ne0d 9524 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  =/=  0 )
3534adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  =/=  0 )
368, 18, 22, 35divdird 9761 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
37 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
3837oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
39 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
4039oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )
4138, 40oveq12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k )
) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) ) )
4241oveq1d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k ) ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
43 ovex 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) )  e.  _V
4442, 13, 43fvmpt 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
4645oveq2d 6037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( sqr `  S )  x.  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ) )
47 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
48 fveere 25555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
4947, 48sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
5021, 49remulcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  RR )
5150, 7resubcld 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  RR )
5251recnd 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  CC )
5312recnd 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
5426gt0ne0d 9524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
5554ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
5652, 53, 55divcan2d 9725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
5746, 56eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
5857oveq2d 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) ) )
5950recnd 9048 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  CC )
608, 59pncan3d 9347 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
6158, 60eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
627, 17readdcld 9049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  e.  RR )
6362recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  e.  CC )
6449recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
6563, 64, 22, 35divmul2d 9756 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  =  ( B `  i
)  <->  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) ) )
6661, 65mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( B `  i ) )
672recnd 9048 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  CC )
6867ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  CC )
696recnd 9048 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
7068, 69, 22, 35div23d 9760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( A `  i
) ) )
7122, 53, 22, 35divsubdird 9762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  -  ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) ) )
7211recnd 9048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
73 pncan2 9245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  CC  /\  ( sqr `  T )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T
) )
7472, 67, 73syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
7574adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
7675oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
7722, 35dividd 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  1 )
7877oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
7971, 76, 783eqtr3d 2428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  =  ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
8079oveq1d 6036 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( A `  i
) )  =  ( ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) ) )
8170, 80eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) ) )
8216recnd 9048 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  CC )
8353, 82, 22, 35div23d 9760 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) )
8481, 83oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) ) )
8536, 66, 843eqtr3d 2428 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) ) )
8685ralrimiva 2733 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   2c2 9982   ...cfz 10976   ^cexp 11310   sqrcsqr 11966   sum_csu 12407   EEcee 25542
This theorem is referenced by:  axsegcon  25581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-ico 10855  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-sum 12408  df-ee 25545
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