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Theorem axsegconlem9 25856
Description: Lemma for axsegcon 25858. Show that  B F is congruent to  C D. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem7.2  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem8.3  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
axsegconlem9  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( F `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    D, p    N, p    A, i, k    B, i, k    C, i, k    D, i, k    i, N, k    S, i, k    T, i, k    i, p
Allowed substitution hints:    S( p)    T( p)    F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem9
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
21oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
3 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
43oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )
52, 4oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k )
) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) ) )
65oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k ) ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
7 axsegconlem8.3 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
8 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5798 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
109adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
1110oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) ) )
12 axsegconlem2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
1312axsegconlem4 25851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  S
)  e.  RR )
14133adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
16 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
17 fveere 25832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
1816, 17sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
1915, 18remulcld 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  e.  RR )
2019recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  e.  CC )
21 axsegconlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
2221axsegconlem4 25851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  RR )
23 readdcl 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2414, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2625, 18remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  RR )
2722ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  RR )
28 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
29 fveere 25832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
3028, 29sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
3127, 30remulcld 9108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  RR )
3226, 31resubcld 9457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  RR )
3332recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  CC )
3415recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
3512axsegconlem6 25853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
3635gt0ne0d 9583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
3820, 33, 34, 37divsubdird 9821 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  /  ( sqr `  S ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  /  ( sqr `  S
) )  -  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ) )
3926recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  CC )
4031recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  CC )
4120, 39, 40subsubd 9431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
4227recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  CC )
4318renegcld 9456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u ( B `  i )  e.  RR )
4443recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u ( B `  i )  e.  CC )
4530recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
4642, 44, 45adddid 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( -u ( B `  i )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T )  x.  -u ( B `  i ) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
4744, 45addcomd 9260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( B `  i
)  +  ( A `
 i ) )  =  ( ( A `
 i )  + 
-u ( B `  i ) ) )
4818recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
4945, 48negsubd 9409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  +  -u ( B `  i )
)  =  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )
5047, 49eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( B `  i
)  +  ( A `
 i ) )  =  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) )
5150oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( -u ( B `  i )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ) )
5225recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  CC )
5352, 34negsubdi2d 9419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( ( sqr `  S )  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )
5434, 42pncan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
5554negeqd 9292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  -u ( sqr `  T ) )
5653, 55eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  = 
-u ( sqr `  T
) )
5756oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( B `  i
) )  =  (
-u ( sqr `  T
)  x.  ( B `
 i ) ) )
5834, 52, 48subdird 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( B `  i
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
) ) )
59 mulneg12 9464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  T
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC )  -> 
( -u ( sqr `  T
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  -u ( B `  i )
) )
6042, 48, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( sqr `  T
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  -u ( B `  i )
) )
6157, 58, 603eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  -u ( B `  i )
)  =  ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
) ) )
6261oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  -u ( B `  i )
)  +  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
6346, 51, 623eqtr3rd 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ) )
6441, 63eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) )
6564oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  /  ( sqr `  S ) )  =  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
6648, 34, 37divcan3d 9787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( B `  i ) )
6766oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  /  ( sqr `  S ) )  -  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) ) )
6838, 65, 673eqtr3rd 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
6911, 68eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
7069oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  ( F `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ^ 2 ) )
7130, 18resubcld 9457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) )  e.  RR )
7227, 71remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  e.  RR )
7372recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  e.  CC )
7473, 34, 37sqdivd 11528 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ) ^ 2 )  /  ( ( sqr `  S ) ^ 2 ) ) )
7571recnd 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) )  e.  CC )
7642, 75sqmuld 11527 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
7721axsegconlem2 25849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  ->  T  e.  RR )
7877ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  T  e.  RR )
7921axsegconlem3 25850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  T )
8079ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  0  <_  T )
81 resqrth 12053 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  RR  /\  0  <_  T )  -> 
( ( sqr `  T
) ^ 2 )  =  T )
8278, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
) ^ 2 )  =  T )
8382oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  =  ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) ) )
8476, 83eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ^ 2 )  =  ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) ) )
8512axsegconlem2 25849 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  S  e.  RR )
8612axsegconlem3 25850 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  S )
87 resqrth 12053 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  -> 
( ( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
8885, 86, 87syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
89883adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
9089ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
9184, 90oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ) ^ 2 )  /  ( ( sqr `  S ) ^ 2 ) )  =  ( ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S ) )
9270, 74, 913eqtrd 2471 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  ( F `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( T  x.  ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  /  S ) )
9392sumeq2dv 12489 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( F `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S ) )
94 fzfid 11304 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9577adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  T  e.  RR )
9695recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  T  e.  CC )
9771resqcld 11541 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  e.  RR )
9897recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  e.  CC )
9994, 96, 98fsummulc2 12559 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) ) )
10099oveq1d 6088 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( T  x.  ( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 ) )  /  S ) )
101 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  i  ->  ( C `  p )  =  ( C `  i ) )
102 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  i  ->  ( D `  p )  =  ( D `  i ) )
103101, 102oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  i  ->  (
( C `  p
)  -  ( D `
 p ) )  =  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )
104103oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( p  =  i  ->  (
( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
105104cbvsumv 12482 . . . . . 6  |-  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )
10621, 105eqtri 2455 . . . . 5  |-  T  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 )
107 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  p  ->  ( A `  i )  =  ( A `  p ) )
108 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  p  ->  ( B `  i )  =  ( B `  p ) )
109107, 108oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  p  ->  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) )  =  ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) )
110109oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( i  =  p  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )
111110cbvsumv 12482 . . . . . 6  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 )
112111, 12eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  =  S
113106, 112oveq12i 6085 . . . 4  |-  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )  x.  S )
114 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )
115114axsegconlem2 25849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  e.  RR )
1161153adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
117116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
11895, 117remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
119118recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
120 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )
121120axsegconlem2 25849 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )  e.  RR )
122121adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
123122recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  e.  CC )
124853adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  S  e.  RR )
125124adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  S  e.  RR )
126125recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  S  e.  CC )
127863adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <_  S )
128 sqr00 12061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  -> 
( ( sqr `  S
)  =  0  <->  S  =  0 ) )
129128necon3bid 2633 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  -> 
( ( sqr `  S
)  =/=  0  <->  S  =/=  0 ) )
130124, 127, 129syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( sqr `  S
)  =/=  0  <->  S  =/=  0 ) )
13136, 130mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  S  =/=  0 )
132131adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  S  =/=  0 )
133119, 123, 126, 132divmul3d 9816 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 )  <-> 
( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )  x.  S ) ) )
134113, 133mpbiri 225 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )
13578, 97remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T  x.  ( (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
136135recnd 9106 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T  x.  ( (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
13794, 126, 136, 132fsumdivc 12561 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  ( ( ( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) )  /  S )  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( T  x.  ( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 ) )  /  S ) )
138100, 134, 1373eqtr3rd 2476 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( T  x.  ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  /  S )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
13993, 138eqtrd 2467 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( F `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   ...cfz 11035   ^cexp 11374   sqrcsqr 12030   sum_csu 12471   EEcee 25819
This theorem is referenced by:  axsegcon  25858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-ee 25822
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