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Theorem axunnd 8234
Description: A version of the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axunnd  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )

Proof of Theorem axunnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axunndlem1 8233 . . . 4  |-  E. w A. y ( E. w
( y  e.  w  /\  w  e.  z
)  ->  y  e.  w )
2 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 1909 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1783 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
6 nfnae 1909 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
75, 6nfan 1783 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
8 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
9 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
11 nfcvd 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
1210, 11nfeld 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  y  e.  w )
13 nfcvf 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
1413adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
1511, 14nfeld 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  z )
1612, 15nfand 1775 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( y  e.  w  /\  w  e.  z
) )
178, 16nfexd 1788 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. w ( y  e.  w  /\  w  e.  z ) )
1817, 12nfimd 1773 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( E. w ( y  e.  w  /\  w  e.  z )  ->  y  e.  w ) )
197, 18nfald 1787 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. y ( E. w
( y  e.  w  /\  w  e.  z
)  ->  y  e.  w ) )
20 nfcvd 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y w )
21 nfcvf2 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
2221adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ y x )
2320, 22nfeqd 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ y  w  =  x )
247, 23nfan1 1834 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
25 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
26 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  x  e.  z ) )
2725, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  (
( y  e.  w  /\  w  e.  z
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
2827a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( y  e.  w  /\  w  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z )
) ) )
294, 16, 28cbvexd 1962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( y  e.  w  /\  w  e.  z )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
) ) )
3029adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. w ( y  e.  w  /\  w  e.  z )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
) ) )
3125adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
y  e.  w  <->  y  e.  x ) )
3230, 31imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( E. w ( y  e.  w  /\  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <-> 
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3324, 32albid 1764 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. y ( E. w
( y  e.  w  /\  w  e.  z
)  ->  y  e.  w )  <->  A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
3433ex 423 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( A. y ( E. w
( y  e.  w  /\  w  e.  z
)  ->  y  e.  w )  <->  A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
354, 19, 34cbvexd 1962 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w A. y ( E. w ( y  e.  w  /\  w  e.  z )  ->  y  e.  w )  <->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) ) )
361, 35mpbii 202 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
3736ex 423 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
38 nfae 1907 . . . 4  |-  F/ y A. x  x  =  y
39 nfa1 1768 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  y
40 elirrv 7327 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  e.  y
41 elequ2 1701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
4240, 41mtbiri 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  -.  y  e.  x )
4342intnanrd 883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z
) )
4443sps 1751 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) )
4539, 44nexd 1763 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )
)
4645pm2.21d 98 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
4738, 46alrimi 1757 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
48 19.8a 1730 . . 3  |-  ( A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
4947, 48syl 15 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
50 nfae 1907 . . . 4  |-  F/ y A. x  x  =  z
51 nfa1 1768 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  x  =  z
52 elirrv 7327 . . . . . . . . 9  |-  -.  z  e.  z
53 elequ1 1699 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  z  <->  z  e.  z ) )
5452, 53mtbiri 294 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  -.  x  e.  z )
5554intnand 882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z
) )
5655sps 1751 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) )
5751, 56nexd 1763 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )
)
5857pm2.21d 98 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
5950, 58alrimi 1757 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
6059, 48syl 15 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
6137, 49, 60pm2.61ii 157 1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419
This theorem is referenced by:  zfcndun  8253  axunprim  24064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-eprel 4321  df-fr 4368
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