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Theorem axunndlem1 8459
Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axunndlem1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Distinct variable groups:    x, y    x, z

Proof of Theorem axunndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2lp 7560 . . . . . . . 8  |-  -.  (
y  e.  x  /\  x  e.  y )
2 elequ2 1730 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
32anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  y
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
41, 3mtbii 294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z
) )
54sps 1770 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) )
65nexdv 1941 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )
)
76pm2.21d 100 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
87a5i 1807 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
9 19.8a 1762 . . 3  |-  ( A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
11 zfun 4693 . . 3  |-  E. x A. w ( E. x
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  w  e.  x )
12 nfnae 2044 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
13 nfnae 2044 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
14 nfvd 1630 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  e.  x )
15 nfcvf 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1615nfcrd 2584 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  x  e.  z )
1714, 16nfand 1843 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y
( w  e.  x  /\  x  e.  z
) )
1813, 17nfexd 1873 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z ) )
1918, 14nfimd 1827 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y
( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
20 elequ1 1728 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2120anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
2221exbidv 1636 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
) ) )
2322, 20imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <-> 
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  y  ->  ( ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2512, 19, 24cbvald 1986 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( E. x
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
2625exbidv 1636 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x A. w ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) ) )
2711, 26mpbii 203 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
2810, 27pm2.61i 158 1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550
This theorem is referenced by:  axunnd  8460
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-reg 7549
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-eprel 4486  df-fr 4533
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