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Theorem axunprim 24049
Description: ax-un 4512 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axunprim  |-  -.  A. x  -.  A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )

Proof of Theorem axunprim
StepHypRef Expression
1 axunnd 8218 . 2  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
2 df-an 360 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z ) )
32exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  E. x  -.  ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z ) )
4 exnal 1561 . . . . . . 7  |-  ( E. x  -.  ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  <->  -. 
A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )
)
53, 4bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  -.  A. x
( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z ) )
65imbi1i 315 . . . . 5  |-  ( ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
76albii 1553 . . . 4  |-  ( A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  <->  A. y
( -.  A. x
( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
87exbii 1569 . . 3  |-  ( E. x A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  E. x A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
9 df-ex 1529 . . 3  |-  ( E. x A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( -. 
A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
108, 9bitri 240 . 2  |-  ( E. x A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( -. 
A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
111, 10mpbi 199 1  |-  -.  A. x  -.  A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-eprel 4305  df-fr 4352
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