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Theorem axunprim 25152
Description: ax-un 4701 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axunprim  |-  -.  A. x  -.  A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )

Proof of Theorem axunprim
StepHypRef Expression
1 axunnd 8471 . 2  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
2 df-an 361 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  -.  ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z ) )
32exbii 1592 . . . . . . 7  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  E. x  -.  ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z ) )
4 exnal 1583 . . . . . . 7  |-  ( E. x  -.  ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  <->  -. 
A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )
)
53, 4bitri 241 . . . . . 6  |-  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  -.  A. x
( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z ) )
65imbi1i 316 . . . . 5  |-  ( ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
76albii 1575 . . . 4  |-  ( A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  <->  A. y
( -.  A. x
( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
87exbii 1592 . . 3  |-  ( E. x A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  E. x A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
9 df-ex 1551 . . 3  |-  ( E. x A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( -. 
A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
108, 9bitri 241 . 2  |-  ( E. x A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x )  <->  -.  A. x  -.  A. y ( -. 
A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
111, 10mpbi 200 1  |-  -.  A. x  -.  A. y ( -.  A. x ( y  e.  x  ->  -.  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213  df-opab 4267  df-eprel 4494  df-fr 4541
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