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Theorem baerlem3lem1 31897
Description: Lemma for baerlem3 31903. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
baerlem3.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem3.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem3.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem3.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem3.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem3.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15859 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.a1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
5 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
6 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
10 baerlem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
11 baerlem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
128, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
133, 4, 7, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
14 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
1614, 15syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
178, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
a  .x.  Z )  e.  V )
183, 4, 16, 17syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Z
)  e.  V )
19 baerlem3.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
20 baerlem3.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
21 baerlem3.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  R )
22 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
238, 19, 20, 9, 10, 21, 22lmodvsubval2 15680 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
a  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .-  ( a  .x.  Z ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) ) )
243, 13, 18, 23syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .-  (
a  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
258, 10, 9, 11, 20, 3, 4, 7, 16lmodsubdi 15682 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .-  ( a  .x.  Z
) ) )
26 baerlem3.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
279lmodrng 15635 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
283, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
29 rnggrp 15346 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
319, 11, 22lmod1cl 15657 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
323, 31syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
3311, 21grpinvcl 14527 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
35 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
368, 9, 10, 11, 35lmodvsass 15654 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
373, 34, 4, 16, 36syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
3811, 35, 22, 21, 28, 4rngnegl 15380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  ( I `  a ) )
39 rngabl 15370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
4028, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
41 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
42 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
43 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
4411, 43, 21ablinvadd 15111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
I `  ( d  .+^  e ) )  =  ( ( I `  d )  .+^  ( I `
 e ) ) )
4540, 41, 42, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  (
d  .+^  e ) )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
46 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
47 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
488, 46, 47, 3, 7, 16lspprcl 15735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
49 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
50 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
51 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
528, 19, 10, 9, 11, 47, 3, 4, 51, 7, 16lsppreli 15843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
538, 19, 10, 9, 11, 47, 3, 41, 42, 7, 16lsppreli 15843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
5546, 54lssvnegcl 15713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  Z } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
563, 48, 53, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
57 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
5811, 57rng0cl 15362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  Q  e.  B )
5928, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
6011, 43rngacl 15368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
6128, 41, 42, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
62 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
638, 9, 10, 57, 62lmod0vs 15663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
643, 49, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
6564oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
66 lmodgrp 15634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
673, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
688, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
693, 51, 16, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
708, 19lmodvacl 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
713, 13, 69, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
728, 19, 62grplid 14512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )
7367, 71, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
74 lmodabl 15672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
753, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
768, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
773, 41, 49, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
788, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
793, 42, 49, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
808, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
d  .x.  Y )  e.  V )
813, 41, 7, 80syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  Y
)  e.  V )
828, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
e  .x.  Z )  e.  V )
833, 42, 16, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Z
)  e.  V )
848, 19, 20ablsub4 15114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  X
)  e.  V )  /\  ( ( d 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( e 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
8575, 77, 79, 81, 83, 84syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
868, 19, 9, 10, 11, 43lmodvsdir 15652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
873, 41, 42, 49, 86syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
8887oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
89 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
908, 10, 9, 11, 20, 3, 41, 49, 7lmodsubdi 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Y
) ) )
918, 10, 9, 11, 20, 3, 42, 49, 16lmodsubdi 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( e 
.x.  X )  .-  ( e  .x.  Z
) ) )
9290, 91oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9389, 92eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9485, 88, 933eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
958, 9, 10, 11lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .+^  e )  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
( d  .+^  e ) 
.x.  X )  e.  V )
963, 61, 49, 95syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V )
978, 19lmodvacl 15641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .x.  Y )  e.  V  /\  (
e  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) )  e.  V )
983, 81, 83, 97syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )
998, 19, 54, 20grpsubval 14525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10096, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10194, 26, 1003eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10273, 101eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10365, 102eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
1048, 19, 9, 11, 10, 46, 1, 48, 49, 50, 52, 56, 59, 61, 103lvecindp 15891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( inv g `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) ) )
105104simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
106105fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  ( I `
 ( d  .+^  e ) ) )
10711, 21grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10830, 41, 107syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10911, 21grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  e  e.  B )  ->  ( I `  e
)  e.  B )
11030, 42, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  e
)  e.  B )
111 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
112104simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( inv g `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) )
1138, 19, 10, 54, 9, 11, 21, 3, 41, 42, 7, 16lmodnegadd 15674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
114112, 113eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
1158, 19, 9, 11, 10, 62, 47, 1, 5, 14, 4, 51, 108, 110, 111, 114lvecindp2 15892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( I `  d )  /\  b  =  ( I `  e ) ) )
116 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( I `
 d )  /\  b  =  ( I `  e ) )  -> 
( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
11845, 106, 1173eqtr4rd 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( I `  Q ) )
11957, 21grpinvid 14533 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I `  Q )  =  Q )
12030, 119syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  Q )
121118, 120eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  Q )
12211, 43, 57, 21grpinvid1 14530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
12330, 4, 51, 122syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
124121, 123mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  b )
12538, 124eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  b )
126125oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( b 
.x.  Z ) )
12737, 126eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( a 
.x.  Z ) )  =  ( b  .x.  Z ) )
128127oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
12926, 128eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
13024, 25, 1293eqtr4rd 2326 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   {cpr 3641   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   -gcsg 14365   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337   1rcur 15339   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  31900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-cntz 14793  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lvec 15856
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