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Theorem baerlem3lem1 32579
Description: Lemma for baerlem3 32585. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
baerlem3.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem3.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem3.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem3.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem3.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem3.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16183 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.a1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
5 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
65eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem3.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 baerlem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 baerlem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
117, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
123, 4, 6, 11syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
157, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
a  .x.  Z )  e.  V )
163, 4, 14, 15syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Z
)  e.  V )
17 baerlem3.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 baerlem3.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
19 baerlem3.i . . . 4  |-  I  =  ( inv g `  R )
20 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 16004 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
a  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .-  ( a  .x.  Z ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) ) )
223, 12, 16, 21syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .-  (
a  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 16006 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .-  ( a  .x.  Z
) ) )
24 baerlem3.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
258lmodrng 15963 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
263, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
27 rnggrp 15674 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
298, 10, 20lmod1cl 15982 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
303, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
3110, 19grpinvcl 14855 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
3228, 30, 31syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
33 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 15980 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
3610, 33, 20, 19, 26, 4rngnegl 15708 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  ( I `  a ) )
37 rngabl 15698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
4210, 41, 19ablinvadd 15439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
I `  ( d  .+^  e ) )  =  ( ( I `  d )  .+^  ( I `
 e ) ) )
4338, 39, 40, 42syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  (
d  .+^  e ) )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
44 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 16059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 16167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 16167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
52 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
5344, 52lssvnegcl 16037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  Z } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
543, 46, 51, 53syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
5610, 55rng0cl 15690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  Q  e.  B )
5726, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
5810, 41rngacl 15696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
5926, 39, 40, 58syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 15988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
623, 47, 61syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
6362oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
64 lmodgrp 15962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
653, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
667, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
673, 49, 14, 66syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
687, 17lmodvacl 15969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
693, 12, 67, 68syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
707, 17, 60grplid 14840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )
7165, 69, 70syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
72 lmodabl 15996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
733, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
747, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
753, 39, 47, 74syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
767, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
773, 40, 47, 76syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
787, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
d  .x.  Y )  e.  V )
793, 39, 6, 78syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  Y
)  e.  V )
807, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
e  .x.  Z )  e.  V )
813, 40, 14, 80syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Z
)  e.  V )
827, 17, 18ablsub4 15442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  X
)  e.  V )  /\  ( ( d 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( e 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 15979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
8685oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 16006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Y
) ) )
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 16006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( e 
.x.  X )  .-  ( e  .x.  Z
) ) )
9088, 89oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9187, 90eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9283, 86, 913eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
937, 8, 9, 10lmodvscl 15972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .+^  e )  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
( d  .+^  e ) 
.x.  X )  e.  V )
943, 59, 47, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V )
957, 17lmodvacl 15969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .x.  Y )  e.  V  /\  (
e  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) )  e.  V )
963, 79, 81, 95syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )
977, 17, 52, 18grpsubval 14853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9992, 24, 983eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10063, 71, 993eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 16215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( inv g `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) ) )
102101simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
103102fveq2d 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  ( I `
 ( d  .+^  e ) ) )
10410, 19grpinvcl 14855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10528, 39, 104syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10610, 19grpinvcl 14855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  e  e.  B )  ->  ( I `  e
)  e.  B )
10728, 40, 106syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  e
)  e.  B )
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
109101simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( inv g `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) )
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 15998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
111109, 110eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 16216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( I `  d )  /\  b  =  ( I `  e ) ) )
113 oveq12 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( I `
 d )  /\  b  =  ( I `  e ) )  -> 
( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
11543, 103, 1143eqtr4rd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( I `  Q ) )
11655, 19grpinvid 14861 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I `  Q )  =  Q )
11728, 116syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  Q )
118115, 117eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  Q )
11910, 41, 55, 19grpinvid1 14858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
12028, 4, 49, 119syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
121118, 120mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  b )
12236, 121eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  b )
123122oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( b 
.x.  Z ) )
12435, 123eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( a 
.x.  Z ) )  =  ( b  .x.  Z ) )
125124oveq2d 6100 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
12624, 125eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
12722, 23, 1263eqtr4rd 2481 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691   -gcsg 14693   LSSumclsm 15273   Abelcabel 15418   Ringcrg 15665   1rcur 15667   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  32582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180
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