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Theorem baerlem3lem2 32193
Description: Lemma for baerlem3 32196. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16133 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3292 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3292 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
11 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
128, 9, 10, 11lspsntrim 16125 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
133, 5, 7, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
148, 9, 11, 3, 5, 7lspsnsub 16038 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Z  .-  Y
) } ) )
15 lmodabl 15946 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
163, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
17 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
188, 9, 16, 17, 5, 7ablnnncan1 15402 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
1918sneqd 3787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) }  =  {
( Z  .-  Y
) } )
2019fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( Z  .-  Y ) } ) )
2114, 20eqtr4d 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } ) )
228, 9lmodvsubcl 15944 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
233, 17, 5, 22syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
248, 9lmodvsubcl 15944 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
253, 17, 7, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
268, 9, 10, 11lspsntrim 16125 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  ( X 
.-  Z )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
2821, 27eqsstrd 3342 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
2913, 28ssind 3525 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
30 elin 3490 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
31 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
32 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
33 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
34 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
358, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7lsmspsn 16111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
368, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25lsmspsn 16111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) )
3735, 36anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
3830, 37syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
40 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ph )
4140, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
4240, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  X  e.  V )
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4440, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4740, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4840, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
53 simp12l 1070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  a  e.  B )
54 simp12r 1071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  b  e.  B )
55 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  d  e.  B )
56 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  e  e.  B )
57 simp13 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
58 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
598, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem3lem1 32190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) ) )
6040, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
618, 9lmodvsubcl 15944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
623, 5, 7, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  V )
6340, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
648, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63lspsneli 16032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  (
a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
6559, 64eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
66653exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
6766rexlimdvv 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
68673exp 1152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
7069imp3a 421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) ) )
7138, 70sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
7271ssrdv 3314 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )
7329, 72eqssd 3325 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643   LSSumclsm 15223   Abelcabel 15368   LModclmod 15905   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129
This theorem is referenced by:  baerlem3  32196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130
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