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Theorem baerlem3lem2 31969
Description: Lemma for baerlem3 31972. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15958 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
5 eldifi 3374 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
8 eldifi 3374 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
10 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 baerlem3.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
12 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
13 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1410, 11, 12, 13lspsntrim 15950 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
153, 6, 9, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
1610, 11, 13, 3, 6, 9lspsnsub 15863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Z  .-  Y
) } ) )
17 lmodabl 15771 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
183, 17syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
19 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2010, 11, 18, 19, 6, 9ablnnncan1 15223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
2120sneqd 3729 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) }  =  {
( Z  .-  Y
) } )
2221fveq2d 5612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( Z  .-  Y ) } ) )
2316, 22eqtr4d 2393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } ) )
2410, 11lmodvsubcl 15769 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
253, 19, 6, 24syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
2610, 11lmodvsubcl 15769 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
273, 19, 9, 26syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
2810, 11, 12, 13lspsntrim 15950 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  ( X 
.-  Z )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
293, 25, 27, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
3023, 29eqsstrd 3288 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
3115, 30ssind 3469 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
32 elin 3434 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
33 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
34 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
35 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
36 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3710, 33, 34, 35, 36, 12, 13, 3, 6, 9lsmspsn 15936 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
3810, 33, 34, 35, 36, 12, 13, 3, 25, 27lsmspsn 15936 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) )
3937, 38anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
4032, 39syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
41 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42 simp11 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ph )
4342, 1syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
4442, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  X  e.  V )
45 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
47 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4842, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4942, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5042, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
51 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
52 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
53 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
54 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
55 simp12l 1068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  a  e.  B )
56 simp12r 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  b  e.  B )
57 simp2l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  d  e.  B )
58 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  e  e.  B )
59 simp13 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
60 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
6110, 11, 41, 12, 13, 43, 44, 46, 48, 49, 50, 33, 36, 34, 35, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60baerlem3lem1 31966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) ) )
6242, 3syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
6310, 11lmodvsubcl 15769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
643, 6, 9, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  V )
6542, 64syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
6610, 36, 34, 35, 13, 62, 55, 65lspsneli 15857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  (
a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
6761, 66eqeltrd 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
68673exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
6968rexlimdvv 2749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
70693exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) ) )
7170rexlimdvv 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
7271imp3a 420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) ) )
7340, 72sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
7473ssrdv 3261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )
7531, 74eqssd 3272 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   E.wrex 2620    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716   {cpr 3717   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   0gc0g 13499   inv gcminusg 14462   -gcsg 14464   LSSumclsm 15044   Abelcabel 15189   LModclmod 15726   LSpanclspn 15827   LVecclvec 15954
This theorem is referenced by:  baerlem3  31972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-cntz 14892  df-lsm 15046  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955
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