Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5abmN Structured version   Unicode version

Theorem baerlem5abmN 32518
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21eldifad 3334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
43eldifad 3334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
8 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
95, 6, 7, 8grpsubval 14850 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
102, 4, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
1110oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) )
1211sneqd 3829 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1312fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
14 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
17 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
18 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lveclmod 16180 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2017, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
215, 7lmodvnegcl 15987 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
2220, 4, 21syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
23 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 16056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
25 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 16030 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 16206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
2827simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 16191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3130necomd 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 16191 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 16205 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
34 lmodgrp 15959 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3517, 19, 343syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3635adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
374adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
385, 7grpinvinv 14860 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
3936, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4020adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 16056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4241adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
43 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4423, 7lssvnegcl 16034 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4540, 42, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4639, 45eqeltrrd 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4733, 46mtand 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 16205 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )
495, 7, 16lspsnneg 16084 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5020, 4, 49syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5130, 50neeqtrrd 2627 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } ) )
525, 14, 7grpinvnzcl 14865 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5335, 3, 52syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 32514 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5550oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 14866 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5756sneqd 3829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
5857fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
5958oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6055, 59ineq12d 3545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6113, 54, 603eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6210sneqd 3829 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } )
6362fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) )
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 32515 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6550oveq2d 6099 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6610eqcomd 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6766oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
6867sneqd 3829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
6968fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7069oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7165, 70ineq12d 3545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7263, 64, 713eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7361, 72jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    i^i cin 3321   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688   -gcsg 14690   LSSumclsm 15270   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049   LVecclvec 16176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator