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Theorem baerlem5alem1 31823
Description: Lemma for baerlem5a 31829. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
baerlem5a.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem5a.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem5a.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem5a.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem5a.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem5a.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5alem1
StepHypRef Expression
1 baerlem5a.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
2 baerlem3.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 baerlem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
4 baerlem3.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  W )
5 baerlem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 baerlem3.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
7 baerlem3.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 lveclmod 16105 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
10 baerlem5a.a1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
11 baerlem3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 baerlem3.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1312eldifad 3275 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
142, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13lmodsubdi 15928 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .-  ( a  .x.  Y
) ) )
15 baerlem3.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
16 baerlem3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( inv g `  R )
172, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
a  .x.  X )  e.  V )
189, 10, 11, 17syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  X
)  e.  V )
192, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13lmodsubvs 15927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .-  (
a  .x.  Y )
)  =  ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 a )  .x.  Y ) ) )
2014, 19eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Y
) ) )
2120oveq1d 6035 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 a )  .x.  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
224lmodrng 15885 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
23 rnggrp 15596 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
249, 22, 233syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
255, 16grpinvcl 14777 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B )  ->  ( I `  a
)  e.  B )
2624, 10, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  e.  B )
272, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  a )  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
( I `  a
)  .x.  Y )  e.  V )
289, 26, 13, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  .x.  Y
)  e.  V )
29 baerlem5a.b1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
30 baerlem3.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3130eldifad 3275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
322, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
339, 29, 31, 32syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
342, 15lmodass 15892 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( I `  a )  .x.  Y
)  e.  V  /\  ( b  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( (
( a  .x.  X
)  .+  ( (
I `  a )  .x.  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) )  =  ( ( a  .x.  X
)  .+  ( (
( I `  a
)  .x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
359, 18, 28, 33, 34syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Y
) )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
361, 21, 353eqtrd 2423 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
372, 15lmodvacl 15891 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
389, 13, 31, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
392, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
409, 10, 38, 39syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
41 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
422, 15, 41, 6grpsubval 14775 . . . 4  |-  ( ( ( a  .x.  X
)  e.  V  /\  ( a  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )  -> 
( ( a  .x.  X )  .-  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( inv g `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
4318, 40, 42syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .-  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( inv g `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
442, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38lmodsubdi 15928 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .-  ( a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
452, 15, 4, 3, 5lmodvsdi 15900 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  a
)  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
I `  a )  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  a )  .x.  Z ) ) )
469, 26, 13, 31, 45syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Z
) ) )
472, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10lmodvsneg 15915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( I `
 a )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )
48 baerlem3.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
49 baerlem3.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
50 baerlem5a.e1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
51 baerlem5a.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
525, 16grpinvcl 14777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
5324, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
54 baerlem3.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
55 eqid 2387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
562, 55, 49, 9, 13, 31lspprcl 15981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
57 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
582, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31lsppreli 16089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
592, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31lsppreli 16089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( e  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
60 baerlem5a.j2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
612, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31lmodsubdi 15928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Z
) ) )
622, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
639, 51, 11, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
642, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31lmodsubvs 15927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .-  (
d  .x.  Z )
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 d )  .x.  Z ) ) )
6561, 64eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
6665oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 d )  .x.  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )
67 lmodabl 15918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
687, 8, 673syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
692, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )
709, 53, 31, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V )
712, 4, 3, 5lmodvscl 15894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
e  .x.  Y )  e.  V )
729, 50, 13, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Y
)  e.  V )
732, 15, 68, 63, 70, 72abl32 15360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) )  .+  (
e  .x.  Y )
)  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  Y ) )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
742, 15lmodass 15892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  Y
)  e.  V  /\  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( (
( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  Y ) )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( (
e  .x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
759, 63, 72, 70, 74syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  Y
) )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( e 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
7666, 73, 753eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( e  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
7760, 36, 763eqtr3d 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .+  (
( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( e  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
782, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77lvecindp 16137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  d  /\  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  =  ( ( e  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) ) )
7978simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( e  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 d )  .x.  Z ) ) )
802, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79lvecindp2 16138 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  e  /\  b  =  ( I `  d ) ) )
8180simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  b  =  ( I `
 d ) )
8278simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  a  =  d )
8382fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  ( I `
 d ) )
8481, 83eqtr4d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  b  =  ( I `
 a ) )
8584oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  =  ( ( I `  a ) 
.x.  Z ) )
8685oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  a
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Z
) ) )
8746, 47, 863eqtr4rd 2430 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( inv g `  W
) `  ( a  .x.  ( Y  .+  Z
) ) ) )
8887oveq2d 6036 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .+  (
( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( inv g `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
8943, 44, 883eqtr4rd 2430 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .+  (
( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( a  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) ) )
9036, 89eqtrd 2419 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    \ cdif 3260   {csn 3757   {cpr 3758   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456  Scalarcsca 13459   .scvsca 13460   0gc0g 13650   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613   -gcsg 14615   LSSumclsm 15195   Abelcabel 15340   Ringcrg 15587   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   LSpanclspn 15974   LVecclvec 16101
This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  31826
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102
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