Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5alem2 Unicode version

Theorem baerlem5alem2 31953
 Description: Lemma for baerlem5a 31956. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem3.p
baerlem3.t
baerlem3.r Scalar
baerlem3.b
baerlem3.a
baerlem3.l
baerlem3.q
baerlem3.i
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7
2 baerlem3.p . . . . . . 7
3 baerlem3.m . . . . . . 7
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9
5 lveclmod 15952 . . . . . . . . 9
64, 5syl 15 . . . . . . . 8
7 lmodabl 15765 . . . . . . . 8
86, 7syl 15 . . . . . . 7
9 baerlem3.x . . . . . . 7
10 baerlem3.y . . . . . . . 8
11 eldifi 3374 . . . . . . . 8
1210, 11syl 15 . . . . . . 7
13 baerlem3.z . . . . . . . 8
14 eldifi 3374 . . . . . . . 8
1513, 14syl 15 . . . . . . 7
161, 2, 3, 8, 9, 12, 15ablsubsub4 15213 . . . . . 6
1716sneqd 3729 . . . . 5
1817fveq2d 5609 . . . 4
191, 3lmodvsubcl 15763 . . . . . 6
206, 9, 12, 19syl3anc 1182 . . . . 5
21 baerlem3.s . . . . . 6
22 baerlem3.n . . . . . 6
231, 3, 21, 22lspsntrim 15944 . . . . 5
246, 20, 15, 23syl3anc 1182 . . . 4
2518, 24eqsstr3d 3289 . . 3
261, 3, 8, 9, 15, 12ablsub32 15216 . . . . . . 7
2726, 16eqtrd 2390 . . . . . 6
2827sneqd 3729 . . . . 5
2928fveq2d 5609 . . . 4
301, 3lmodvsubcl 15763 . . . . . 6
316, 9, 15, 30syl3anc 1182 . . . . 5
321, 3, 21, 22lspsntrim 15944 . . . . 5
336, 31, 12, 32syl3anc 1182 . . . 4
3429, 33eqsstr3d 3289 . . 3
3525, 34ssind 3469 . 2
36 elin 3434 . . . . 5
37 baerlem3.r . . . . . . 7 Scalar
38 baerlem3.b . . . . . . 7
39 baerlem3.t . . . . . . 7
401, 2, 37, 38, 39, 21, 22, 6, 20, 15lsmspsn 15930 . . . . . 6
411, 2, 37, 38, 39, 21, 22, 6, 31, 12lsmspsn 15930 . . . . . 6
4240, 41anbi12d 691 . . . . 5
4336, 42syl5bb 248 . . . 4
44 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11
45 simp11 985 . . . . . . . . . . . 12
4645, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11
4745, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12
4945, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11
50 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12
5145, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11
5245, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11
5345, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11
54 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11
55 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11
56 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11
57 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11
58 simp12l 1068 . . . . . . . . . . 11
59 simp12r 1069 . . . . . . . . . . 11
60 simp2l 981 . . . . . . . . . . 11
61 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11
62 simp13 987 . . . . . . . . . . 11
63 simp3 957 . . . . . . . . . . 11
641, 3, 44, 21, 22, 46, 47, 49, 51, 52, 53, 2, 39, 37, 38, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63baerlem5alem1 31950 . . . . . . . . . 10
6545, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11
661, 2lmodvacl 15734 . . . . . . . . . . . . . 14
676, 12, 15, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
681, 3lmodvsubcl 15763 . . . . . . . . . . . . 13
696, 9, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
7045, 69syl 15 . . . . . . . . . . 11
711, 39, 37, 38, 22, 65, 58, 70lspsneli 15851 . . . . . . . . . 10
7264, 71eqeltrd 2432 . . . . . . . . 9
73723exp 1150 . . . . . . . 8
7473rexlimdvv 2749 . . . . . . 7
75743exp 1150 . . . . . 6
7675rexlimdvv 2749 . . . . 5
7776imp3a 420 . . . 4
7843, 77sylbid 206 . . 3
7978ssrdv 3261 . 2
8035, 79eqssd 3272 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521  wrex 2620   cdif 3225   cin 3227   wss 3228  csn 3716  cpr 3717  cfv 5334  (class class class)co 5942  cbs 13239   cplusg 13299  Scalarcsca 13302  cvsca 13303  c0g 13493  cminusg 14456  csg 14458  clsm 15038  cabel 15183  clmod 15720  clspn 15821  clvec 15948 This theorem is referenced by:  baerlem5a  31956 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cntz 14886  df-lsm 15040  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949
 Copyright terms: Public domain W3C validator