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Theorem baerlem5alem2 31953
Description: Lemma for baerlem5a 31956. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 15952 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lmodabl 15765 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
9 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
11 eldifi 3374 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
1210, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
14 eldifi 3374 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
161, 2, 3, 8, 9, 12, 15ablsubsub4 15213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
1716sneqd 3729 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  Z ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )
1817fveq2d 5609 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
191, 3lmodvsubcl 15763 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
206, 9, 12, 19syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
21 baerlem3.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
22 baerlem3.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
231, 3, 21, 22lspsntrim 15944 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  Z ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
246, 20, 15, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
2518, 24eqsstr3d 3289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
261, 3, 8, 9, 15, 12ablsub32 15216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  Y
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z ) )
2726, 16eqtrd 2390 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  Y
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
2827sneqd 3729 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Z )  .-  Y ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )
2928fveq2d 5609 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Z )  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
301, 3lmodvsubcl 15763 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
316, 9, 15, 30syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
321, 3, 21, 22lspsntrim 15944 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Z )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Z
)  .-  Y ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
336, 31, 12, 32syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Z )  .-  Y
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )
3429, 33eqsstr3d 3289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
3525, 34ssind 3469 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
36 elin 3434 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
37 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
38 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
39 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
401, 2, 37, 38, 39, 21, 22, 6, 20, 15lsmspsn 15930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) ) ) )
411, 2, 37, 38, 39, 21, 22, 6, 31, 12lsmspsn 15930 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) ) ) )
4240, 41anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) ) ) )
4336, 42syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) ) ) )
44 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
45 simp11 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  ph )
4645, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  W  e.  LVec )
4745, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  X  e.  V )
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4945, 48syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
50 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
5145, 50syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
5245, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5345, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
54 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
55 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
56 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
57 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
58 simp12l 1068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
a  e.  B )
59 simp12r 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
b  e.  B )
60 simp2l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
d  e.  B )
61 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
e  e.  B )
62 simp13 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
63 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
641, 3, 44, 21, 22, 46, 47, 49, 51, 52, 53, 2, 39, 37, 38, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63baerlem5alem1 31950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )
6545, 6syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  W  e.  LMod )
661, 2lmodvacl 15734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
676, 12, 15, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
681, 3lmodvsubcl 15763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
696, 9, 67, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
7045, 69syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
711, 39, 37, 38, 22, 65, 58, 70lspsneli 15851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( a  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  e.  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
7264, 71eqeltrd 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
73723exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) )
7473rexlimdvv 2749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) )
75743exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) )
7776imp3a 420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) } ) ) )
7843, 77sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) )
7978ssrdv 3261 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  C_  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) } ) )
8035, 79eqssd 3272 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   E.wrex 2620    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   {csn 3716   {cpr 3717   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Basecbs 13239   +g cplusg 13299  Scalarcsca 13302   .scvsca 13303   0gc0g 13493   inv gcminusg 14456   -gcsg 14458   LSSumclsm 15038   Abelcabel 15183   LModclmod 15720   LSpanclspn 15821   LVecclvec 15948
This theorem is referenced by:  baerlem5a  31956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-subg 14711  df-cntz 14886  df-lsm 15040  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949
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