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Theorem baerlem5alem2 32509
Description: Lemma for baerlem5a 32512. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 16178 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lmodabl 15991 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
9 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1312eldifad 3332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 15443 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
1514sneqd 3827 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  Z ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )
1615fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
171, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
186, 9, 11, 17syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
19 baerlem3.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
20 baerlem3.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
211, 3, 19, 20lspsntrim 16170 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  Z ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
226, 18, 13, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
2316, 22eqsstr3d 3383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 15446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  Y
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z ) )
2524, 14eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  Y
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
2625sneqd 3827 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Z )  .-  Y ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )
2726fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Z )  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
281, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
296, 9, 13, 28syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
301, 3, 19, 20lspsntrim 16170 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Z )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Z
)  .-  Y ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
316, 29, 11, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Z )  .-  Y
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )
3227, 31eqsstr3d 3383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
3323, 32ssind 3565 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
34 elin 3530 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
35 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
36 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
37 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 16156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) ) ) )
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 16156 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) ) ) )
4038, 39anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) ) ) )
4134, 40syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) ) ) )
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
43 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  ph )
4443, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  W  e.  LVec )
4543, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  X  e.  V )
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
5043, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5143, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
56 simp12l 1070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
a  e.  B )
57 simp12r 1071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
b  e.  B )
58 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
d  e.  B )
59 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
e  e.  B )
60 simp13 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
61 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 32506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )
6343, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  W  e.  LMod )
641, 2lmodvacl 15964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
656, 11, 13, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
661, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
676, 9, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
6843, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68lspsneli 16077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( a  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  e.  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
7062, 69eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
71703exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) )
7271rexlimdvv 2836 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) )
73723exp 1152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) ) )
7473rexlimdvv 2836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) )
7574imp3a 421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) } ) ) )
7641, 75sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) )
7776ssrdv 3354 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  C_  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) } ) )
7833, 77eqssd 3365 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   {cpr 3815   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688   LSSumclsm 15268   Abelcabel 15413   LModclmod 15950   LSpanclspn 16047   LVecclvec 16174
This theorem is referenced by:  baerlem5a  32512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175
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