Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5alem2 Structured version   Unicode version

Theorem baerlem5alem2 32509
 Description: Lemma for baerlem5a 32512. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem3.p
baerlem3.t
baerlem3.r Scalar
baerlem3.b
baerlem3.a
baerlem3.l
baerlem3.q
baerlem3.i
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7
2 baerlem3.p . . . . . . 7
3 baerlem3.m . . . . . . 7
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9
5 lveclmod 16178 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8
7 lmodabl 15991 . . . . . . . 8
86, 7syl 16 . . . . . . 7
9 baerlem3.x . . . . . . 7
10 baerlem3.y . . . . . . . 8
1110eldifad 3332 . . . . . . 7
12 baerlem3.z . . . . . . . 8
1312eldifad 3332 . . . . . . 7
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 15443 . . . . . 6
1514sneqd 3827 . . . . 5
1615fveq2d 5732 . . . 4
171, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . 6
186, 9, 11, 17syl3anc 1184 . . . . 5
19 baerlem3.s . . . . . 6
20 baerlem3.n . . . . . 6
211, 3, 19, 20lspsntrim 16170 . . . . 5
226, 18, 13, 21syl3anc 1184 . . . 4
2316, 22eqsstr3d 3383 . . 3
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 15446 . . . . . . 7
2524, 14eqtrd 2468 . . . . . 6
2625sneqd 3827 . . . . 5
2726fveq2d 5732 . . . 4
281, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . 6
296, 9, 13, 28syl3anc 1184 . . . . 5
301, 3, 19, 20lspsntrim 16170 . . . . 5
316, 29, 11, 30syl3anc 1184 . . . 4
3227, 31eqsstr3d 3383 . . 3
3323, 32ssind 3565 . 2
34 elin 3530 . . . . 5
35 baerlem3.r . . . . . . 7 Scalar
36 baerlem3.b . . . . . . 7
37 baerlem3.t . . . . . . 7
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 16156 . . . . . 6
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 16156 . . . . . 6
4038, 39anbi12d 692 . . . . 5
4134, 40syl5bb 249 . . . 4
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11
43 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12
4443, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11
4543, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11
5043, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11
5143, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11
56 simp12l 1070 . . . . . . . . . . 11
57 simp12r 1071 . . . . . . . . . . 11
58 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11
59 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11
60 simp13 989 . . . . . . . . . . 11
61 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 32506 . . . . . . . . . 10
6343, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11
641, 2lmodvacl 15964 . . . . . . . . . . . . . 14
656, 11, 13, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
661, 3lmodvsubcl 15989 . . . . . . . . . . . . 13
676, 9, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
6843, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68lspsneli 16077 . . . . . . . . . 10
7062, 69eqeltrd 2510 . . . . . . . . 9
71703exp 1152 . . . . . . . 8
7271rexlimdvv 2836 . . . . . . 7
73723exp 1152 . . . . . 6
7473rexlimdvv 2836 . . . . 5
7574imp3a 421 . . . 4
7641, 75sylbid 207 . . 3
7776ssrdv 3354 . 2
7833, 77eqssd 3365 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wrex 2706   cdif 3317   cin 3319   wss 3320  csn 3814  cpr 3815  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  cminusg 14686  csg 14688  clsm 15268  cabel 15413  clmod 15950  clspn 16047  clvec 16174 This theorem is referenced by:  baerlem5a  32512 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lvec 16175
 Copyright terms: Public domain W3C validator