Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5blem1 Unicode version

Theorem baerlem5blem1 32521
Description: Lemma for baerlem5b 32527. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
baerlem5b.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem5b.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem5b.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem5b.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem5b.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem5b.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 baerlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
7 baerlem3.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lveclmod 15875 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
107, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
12 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
14 baerlem3.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
171, 6, 8, 10, 13, 16lspprcl 15751 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
18 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 baerlem3.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
20 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
21 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
221, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 20, 21, 13, 16lsppreli 15859 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
233lmodrng 15651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
2410, 23syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
25 rnggrp 15362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
27 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
28 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
294, 28grpinvcl 14543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
3026, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
311, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 30, 30, 13, 16lsppreli 15859 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
32 baerlem3.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
333, 4, 32lmod0cl 15672 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  Q  e.  B )
3410, 33syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
35 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
36 baerlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
373, 4, 36lmodacl 15654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
3810, 27, 35, 37syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
391, 3, 5, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
4010, 20, 13, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
411, 3, 5, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
4210, 21, 16, 41syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
431, 2lmodvacl 15657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
4410, 40, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
45 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
461, 2, 45lmod0vlid 15676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4710, 44, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
481, 3, 5, 32, 45lmod0vs 15679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
4910, 18, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
5049oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
51 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
5247, 50, 513eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  j )
53 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .-  =  ( -g `  W )
541, 2lmodvacl 15657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
5510, 13, 16, 54syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
561, 5, 3, 4, 53, 10, 27, 18, 55lmodsubdi 15698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
571, 3, 5, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
5810, 27, 18, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
591, 2, 53, 5, 3, 4, 28, 10, 27, 58, 55lmodsubvs 15697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .-  (
d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
601, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 15666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )
6110, 30, 13, 16, 60syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .+  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6356, 59, 623eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6463oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
65 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
661, 2, 3, 5, 4, 36lmodvsdir 15668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
6710, 27, 35, 18, 66syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
6867oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
69 lmodabl 15688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
7010, 69syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
711, 3, 5, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
7210, 35, 18, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
731, 3, 5, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V )
7410, 30, 13, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Y
)  e.  V )
751, 3, 5, 4lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )
7610, 30, 16, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V )
771, 2lmodvacl 15657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V  /\  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )
7810, 74, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  V )
791, 2, 70, 58, 72, 78abl32 15126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
8068, 79eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
8164, 65, 803eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
8252, 81eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) ) )
831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 18, 19, 22, 31, 34, 38, 82lvecindp 15907 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
8483simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
8584oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  ( ( d  .+^  e )  .x.  X ) )
8685, 49eqtr3d 2330 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  .0.  )
8786oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
881, 2, 45lmod0vlid 15676 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) )
8910, 78, 88syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
9087, 89eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
9190, 81, 613eqtr4d 2338 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381   LSSumclsm 14961   Abelcabel 15106   Ringcrg 15353   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  32524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator