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Theorem baerlem5blem2 32241
Description: Lemma for baerlem5b 32244. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16161 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3319 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3319 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
10 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
11 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
128, 9, 10, 11lspsntri 16152 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
133, 5, 7, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
14 baerlem3.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
15 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
168, 9lmodvacl 15947 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
173, 5, 7, 16syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
188, 14lmodvsubcl 15972 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
193, 15, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 16066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) } ) )
21 lmodabl 15974 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
223, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 15428 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( Y  .+  Z ) )
2423sneqd 3814 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) ) }  =  {
( Y  .+  Z
) } )
2524fveq2d 5718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
2620, 25eqtrd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
278, 14, 11, 10lspsntrim 16153 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) 
.-  X ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
283, 19, 15, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
2926, 28eqsstr3d 3370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
3013, 29ssind 3552 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
31 elin 3517 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  <->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
32 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
33 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
34 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 16139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 16139 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) ) )
3735, 36anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
3831, 37syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
40 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ph )
4140, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LVec )
4240, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  X  e.  V )
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4440, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4740, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4840, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
53 simp12l 1070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  a  e.  B )
54 simp12r 1071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  b  e.  B )
55 simp2l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  d  e.  B )
56 simp2r 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  e  e.  B )
57 simp13 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
58 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 32238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( I `
 d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )
6040, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LMod )
6132lmodrng 15941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
623, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
63 rnggrp 15652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
6540, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  R  e.  Grp )
6633, 52grpinvcl 14833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
6765, 55, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
I `  d )  e.  B )
6840, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
698, 34, 32, 33, 10, 60, 67, 68lspsneli 16060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
7059, 69eqeltrd 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
71703exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7271rexlimdvv 2823 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) )
73723exp 1152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) ) )
7473rexlimdvv 2823 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7574imp3a 421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7638, 75sylbid 207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7776ssrdv 3341 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
7830, 77eqssd 3352 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   E.wrex 2693    \ cdif 3304    i^i cin 3306    C_ wss 3307   {csn 3801   {cpr 3802   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   Basecbs 13452   +g cplusg 13512  Scalarcsca 13515   .scvsca 13516   0gc0g 13706   Grpcgrp 14668   inv gcminusg 14669   -gcsg 14671   LSSumclsm 15251   Abelcabel 15396   Ringcrg 15643   LModclmod 15933   LSpanclspn 16030   LVecclvec 16157
This theorem is referenced by:  baerlem5b  32244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-0g 13710  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-subg 14924  df-cntz 15099  df-lsm 15253  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-drng 15820  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-lvec 16158
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