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Theorem baerlem5blem2 32584
Description: Lemma for baerlem5b 32587. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16183 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3334 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
10 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
11 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
128, 9, 10, 11lspsntri 16174 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
133, 5, 7, 12syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
14 baerlem3.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
15 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
168, 9lmodvacl 15969 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
173, 5, 7, 16syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
188, 14lmodvsubcl 15994 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
193, 15, 17, 18syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 16088 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) } ) )
21 lmodabl 15996 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
223, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 15450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( Y  .+  Z ) )
2423sneqd 3829 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) ) }  =  {
( Y  .+  Z
) } )
2524fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
2620, 25eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
278, 14, 11, 10lspsntrim 16175 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) 
.-  X ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
283, 19, 15, 27syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
2926, 28eqsstr3d 3385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
3013, 29ssind 3567 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
31 elin 3532 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  <->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
32 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
33 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
34 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 16161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 16161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) ) )
3735, 36anbi12d 693 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
3831, 37syl5bb 250 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
40 simp11 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ph )
4140, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LVec )
4240, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  X  e.  V )
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4440, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4740, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4840, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
53 simp12l 1071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  a  e.  B )
54 simp12r 1072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  b  e.  B )
55 simp2l 984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  d  e.  B )
56 simp2r 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  e  e.  B )
57 simp13 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
58 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 32581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( I `
 d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )
6040, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LMod )
6132lmodrng 15963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
62 rnggrp 15674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6340, 3, 61, 624syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  R  e.  Grp )
6433, 52grpinvcl 14855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
6563, 55, 64syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
I `  d )  e.  B )
6640, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
678, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66lspsneli 16082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
6859, 67eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
69683exp 1153 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7069rexlimdvv 2838 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) )
71703exp 1153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) ) )
7271rexlimdvv 2838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7372imp3a 422 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7438, 73sylbid 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7574ssrdv 3356 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
7630, 75eqssd 3367 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   {csn 3816   {cpr 3817   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   inv gcminusg 14691   -gcsg 14693   LSSumclsm 15273   Abelcabel 15418   Ringcrg 15665   LModclmod 15955   LSpanclspn 16052   LVecclvec 16179
This theorem is referenced by:  baerlem5b  32587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-lsm 15275  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-drng 15842  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-lvec 16180
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