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Theorem baerlem5blem2 32524
Description: Lemma for baerlem5b 32527. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15875 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
5 eldifi 3311 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
8 eldifi 3311 . . . . 5  |-  ( Z  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Z  e.  V )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
10 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 baerlem3.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
13 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1410, 11, 12, 13lspsntri 15866 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
153, 6, 9, 14syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
16 baerlem3.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
17 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1810, 11lmodvacl 15657 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
193, 6, 9, 18syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
2010, 16lmodvsubcl 15686 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
213, 17, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
2210, 16, 12, 3, 21, 17lspsnsub 15780 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) } ) )
23 lmodabl 15688 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
243, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
2510, 16, 24, 17, 19ablnncan 15138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( Y  .+  Z ) )
2625sneqd 3666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) ) }  =  {
( Y  .+  Z
) } )
2726fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
2822, 27eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
2910, 16, 13, 12lspsntrim 15867 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) 
.-  X ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
303, 21, 17, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
3128, 30eqsstr3d 3226 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
3215, 31ssind 3406 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
33 elin 3371 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  <->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
34 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
35 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
36 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3710, 11, 34, 35, 36, 13, 12, 3, 6, 9lsmspsn 15853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
3810, 11, 34, 35, 36, 13, 12, 3, 21, 17lsmspsn 15853 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) ) )
3937, 38anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
4033, 39syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
41 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
42 simp11 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ph )
4342, 1syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LVec )
4442, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  X  e.  V )
45 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
47 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4842, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4942, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5042, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
51 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
52 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
53 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
54 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( inv g `  R )
55 simp12l 1068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  a  e.  B )
56 simp12r 1069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  b  e.  B )
57 simp2l 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  d  e.  B )
58 simp2r 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  e  e.  B )
59 simp13 987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
60 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )
6110, 16, 41, 13, 12, 43, 44, 46, 48, 49, 50, 11, 36, 34, 35, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60baerlem5blem1 32521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( I `
 d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )
6242, 3syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LMod )
6334lmodrng 15651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
643, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65 rnggrp 15362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
6742, 66syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  R  e.  Grp )
6835, 54grpinvcl 14543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
6967, 57, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
I `  d )  e.  B )
7042, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
7110, 36, 34, 35, 12, 62, 69, 70lspsneli 15774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
7261, 71eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
73723exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7473rexlimdvv 2686 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) )
75743exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2686 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7776imp3a 420 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7840, 77sylbid 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7978ssrdv 3198 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
8032, 79eqssd 3209 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   {csn 3653   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379   -gcsg 14381   LSSumclsm 14961   Abelcabel 15106   Ringcrg 15353   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  baerlem5b  32527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
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