Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1 Unicode version

Theorem ballotlem1 24523
Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
Assertion
Ref Expression
ballotlem1  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c

Proof of Theorem ballotlem1
StepHypRef Expression
1 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
21fveq2i 5671 . 2  |-  ( # `  O )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
3 fzfi 11238 . . 3  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
4 ballotth.m . . . 4  |-  M  e.  NN
54nnzi 10237 . . 3  |-  M  e.  ZZ
6 hashbc 11629 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
1 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
73, 5, 6mp2an 654 . 2  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
8 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
94, 8pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
10 nnaddcl 9954 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
11 nnnn0 10160 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN  ->  ( M  +  N )  e.  NN0 )
129, 10, 11mp2b 10 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e. 
NN0
13 hashfz1 11557 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  =  ( M  +  N ) )
1412, 13ax-mp 8 . . 3  |-  ( # `  ( 1 ... ( M  +  N )
) )  =  ( M  +  N )
1514oveq1i 6030 . 2  |-  ( (
# `  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
162, 7, 153eqtr2i 2413 1  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {crab 2653   ~Pcpw 3742   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   1c1 8924    + caddc 8926   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ...cfz 10975    _C cbc 11520   #chash 11545
This theorem is referenced by:  ballotlem2  24525  ballotth  24574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-seq 11251  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546
  Copyright terms: Public domain W3C validator