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Theorem ballotlem1c 24770
Description: If the first vote is for A, the vote on the first tie is for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem1c  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  -.  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem1c
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3471 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  C  e.  O )
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 24764 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1211simpld 447 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 elfznn 11085 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1514adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  e.  NN )
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemii 24766 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  =/=  1 )
17 eluz2b3 10554 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1815, 16, 17sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
19 uz2m1nn 10555 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2120adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
22 elnnuz 10527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2322biimpi 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 eluzfz1 11069 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2520, 23, 243syl 19 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )
2625adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
27 0le1 9556 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
28 1e0p1 10415 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
2927, 28breqtri 4238 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 0  +  1 )
30 1nn 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 31ballotlemfp1 24754 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3332simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) )
3433imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) )
35 1m1e0 10073 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3635fveq2i 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
3736oveq1i 6094 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  +  1 )
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C
) `  0 )  +  1 ) )
391, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 24758 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
406, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
4140adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( F `  C ) `  0
)  =  0 )
4241oveq1d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
4334, 38, 423eqtrrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( 0  +  1 )  =  ( ( F `  C ) `
 1 ) )
4429, 43syl5breq 4250 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  1 ) )
4544adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  1 )
)
46 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
4746breq2d 4227 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  1 )
) )
4847rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )  ->  E. i  e.  (
1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
4926, 45, 48syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  E. i  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
50 df-neg 9299 . . . . . 6  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 24754 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
5251simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
5352imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  +  1 ) )
5411simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
5554adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
5653, 55eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  +  1 )  =  0 )
57 0cn 9089 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
59 ax-1cn 9053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
616adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
6214nnzd 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
6362adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
64 1z 10316 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
6663, 65zsubcld 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
671, 2, 3, 4, 5, 61, 66ballotlemfelz 24753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
6867zcnd 10381 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
6958, 60, 68subadd2d 9435 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  <->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  +  1 )  =  0 ) )
7056, 69mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7150, 70syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -u 1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
72 0lt1 9555 . . . . . 6  |-  0  <  1
73 1re 9095 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
74 lt0neg2 9540 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
7573, 74ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
7672, 75mpbi 201 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
7771, 76syl6eqbrr 4253 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
)
7877adantlr 697 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
)
791, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 49, 78ballotlemfcc 24756 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
801, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 24768 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
8180ad2antrr 708 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
8279, 81pm2.65da 561 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  -.  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    i^i cin 3321   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048   #chash 11623
This theorem is referenced by:  ballotlem7  24798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-hash 11624
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