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Theorem ballotlem2 24703
Description: The probability that the first vote picked in a count is a B (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c, x
Allowed substitution hints:    P( x, c)    M( x)    N( x)

Proof of Theorem ballotlem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3392 . . . . 5  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
2 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
52, 3, 4ballotlemoex 24700 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
65elpw2 4328 . . . . 5  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
71, 6mpbir 201 . . . 4  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
8 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
98oveq1d 6059 . . . . 5  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ovex 6069 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5769 . . . 4  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
137, 12ax-mp 8 . . 3  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
14 2nn 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
15 nnge1 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  NN  ->  1  <_  2 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  2
17 1z 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
18 2z 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
19 eluz 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
2017, 18, 19mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
2116, 20mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
22 fzss1 11051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)
24 sspwb 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2523, 24mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
2625sseli 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )
27 1lt2 10102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
28 1re 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
29 2re 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
3028, 29ltnlei 9154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
3127, 30mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  2  <_  1
32 elfzle1 11020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( 2 ... ( M  +  N
) )  ->  2  <_  1 )
3331, 32mto 169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
)
34 elelpwi 3773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )
3533, 34mto 169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )
36 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  /\  1  e.  c ) )
3735, 36mtbi 290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  (
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  1  e.  c )
3837imnani 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  1  e.  c
)
3926, 38jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c ) )
40 ssin 3527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  <->  c  C_  ( ( 1 ... ( M  +  N
) )  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } ) )
41 1p1e2 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  =  2
42 nnge1 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
432, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  M
44 nnge1 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
453, 44ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  N
462nnrei 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  M  e.  RR
473nnrei 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  N  e.  RR
4828, 28, 46, 47le2addi 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  <_  M  /\  1  <_  N )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( M  +  N ) )
4943, 45, 48mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  <_ 
( M  +  N
)
5041, 49eqbrtrri 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  ( M  +  N
)
5146, 47readdcli 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  RR
5228, 29, 51letri 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  <_  2  /\  2  <_  ( M  +  N ) )  -> 
1  <_  ( M  +  N ) )
5316, 50, 52mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( M  +  N
)
54 nnaddcl 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
552, 3, 54mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  NN
5655nnzi 10265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
57 eluz 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( M  +  N ) ) )
5817, 56, 57mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  ( M  +  N )
)
5953, 58mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
60 elfzp12 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) ) )
6159, 60ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) )
6261biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) ) )
6362orcanai 880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) )
6441oveq1i 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 2 ... ( M  +  N )
)
6563, 64syl6eleq 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
6665ss2abi 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) } 
C_  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }
67 inab 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1 ) }
68 abid2 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 1 ... ( M  +  N ) )
6968ineq1i 3502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
7067, 69eqtr3i 2430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) }  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
71 abid2 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 2 ... ( M  +  N ) )
7266, 70, 713sstr3i 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  C_  (
2 ... ( M  +  N ) )
73 sstr 3320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  C_  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  /\  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  C_  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  c  C_  (
2 ... ( M  +  N ) ) )
7472, 73mpan2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c 
C_  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
7540, 74sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
76 vex 2923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e. 
_V
7776elpw 3769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
78 ssab 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  { i  |  -.  i  =  1 }  <->  A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 ) )
79 df-ex 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8079bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. i  -.  (
i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8180con1bii 322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
82 df-clel 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  c  <->  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8382notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  1  e.  c  <->  -.  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
84 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1
)  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8584albii 1572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
86 ancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <-> 
( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8786notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8887albii 1572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8985, 88bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
9081, 83, 893bitr4ri 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  -.  1  e.  c )
9178, 90bitr2i 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  1  e.  c  <->  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )
9277, 91anbi12i 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } ) )
9376elpw 3769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9475, 92, 933imtr4i 258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9539, 94impbii 181 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  1  e.  c )
)
9695anbi1i 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
974rabeq2i 2917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  O  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) )
9897anbi1i 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
99 an32 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c )  /\  ( # `
 c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
10098, 99bitr4i 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
10196, 100bitr4i 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
102101abbii 2520 . . . . . . 7  |-  { c  |  ( c  e. 
~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
103 df-rab 2679 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  |  ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M ) }
104 df-rab 2679 . . . . . . 7  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
105102, 103, 1043eqtr4i 2438 . . . . . 6  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
106105fveq2i 5694 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)
107 fzfi 11270 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
1082nnzi 10265 . . . . . . 7  |-  M  e.  ZZ
109 hashbc 11661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
110107, 108, 109mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
11118eluz1i 10455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( M  +  N
) ) )
11256, 50, 111mpbir2an 887 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
113 hashfz 11651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 ) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )
1152nncni 9970 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  CC
1163nncni 9970 . . . . . . . . . . 11  |-  N  e.  CC
117115, 116addcli 9054 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  CC
118 2cn 10030 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
119 ax-1cn 9008 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
120 subadd23 9277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) ) )
121117, 118, 119, 120mp3an 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )
122118, 119negsubdi2i 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
123 2m1e1 10055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  1
124123negeqi 9259 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
125122, 124eqtr3i 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
126125oveq2i 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u
1 )
127114, 121, 1263eqtri 2432 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  +  -u 1
)
128117, 119negsubi 9338 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  +  -u 1 )  =  ( ( M  +  N )  -  1 )
129127, 128eqtri 2428 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  -  1 )
130129oveq1i 6054 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
131110, 130eqtr3i 2430 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
132106, 131eqtr3i 2430 . . . 4  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
1332, 3, 4ballotlem1 24701 . . . 4  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
134132, 133oveq12i 6056 . . 3  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
13513, 134eqtri 2428 . 2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
136 0le1 9511 . . . . . 6  |-  0  <_  1
137 0re 9051 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
138137, 28, 46letri 9162 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  M )  -> 
0  <_  M )
139136, 43, 138mp2an 654 . . . . 5  |-  0  <_  M
1403nngt0i 9993 . . . . . . 7  |-  0  <  N
14147, 140elrpii 10575 . . . . . 6  |-  N  e.  RR+
142 ltaddrp 10604 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  M  <  ( M  +  N ) )
14346, 141, 142mp2an 654 . . . . 5  |-  M  < 
( M  +  N
)
144108, 139, 1433pm3.2i 1132 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  < 
( M  +  N
) )
145 0z 10253 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
146 elfzm11 11075 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) ) )
147145, 56, 146mp2an 654 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) )
148144, 147mpbir 201 . . 3  |-  M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )
149 bcm1n 24108 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  - 
1 ) )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  N
)  -  1 )  _C  M )  / 
( ( M  +  N )  _C  M
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M
)  /  ( M  +  N ) ) )
150148, 55, 149mp2an 654 . 2  |-  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  ( ( M  +  N )  _C  M ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M )  /  ( M  +  N )
)
151 pncan2 9272 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
152115, 116, 151mp2an 654 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N
153152oveq1i 6054 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  M )  /  ( M  +  N ) )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
154135, 150, 1533eqtri 2432 1  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2394   {crab 2674    i^i cin 3283    C_ wss 3284   ~Pcpw 3763   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Fincfn 7072   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   -ucneg 9252    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572   ...cfz 11003    _C cbc 11552   #chash 11577
This theorem is referenced by:  ballotth  24752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-fz 11004  df-seq 11283  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578
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