Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem5 Unicode version

Theorem ballotlem5 24538
Description: If A is not ahead throughout, there is a  k where votes are tied. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
Assertion
Ref Expression
ballotlem5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i, k    i, E, k    C, k
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x, c)    F( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem5
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . 2  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . 2  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . 2  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . 2  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . 2  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3414 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
71a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  M  e.  NN )
82a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  N  e.  NN )
97, 8nnaddcld 9980 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
10 ballotth.e . . . 4  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
111, 2, 3, 4, 5, 10ballotlemodife 24536 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
1211simprbi 451 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
)
13 ballotth.mgtn . . . 4  |-  N  < 
M
142nnrei 9943 . . . . 5  |-  N  e.  RR
151nnrei 9943 . . . . 5  |-  M  e.  RR
1614, 15posdifi 9511 . . . 4  |-  ( N  <  M  <->  0  <  ( M  -  N ) )
1713, 16mpbi 200 . . 3  |-  0  <  ( M  -  N
)
181, 2, 3, 4, 5ballotlemfmpn 24533 . . . 4  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  ( M  +  N ) )  =  ( M  -  N
) )
196, 18syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( M  +  N ) )  =  ( M  -  N
) )
2017, 19syl5breqr 4191 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  ( M  +  N )
) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 20ballotlemfc0 24531 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   {crab 2655    \ cdif 3262    i^i cin 3264   ~Pcpw 3744   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   NNcn 9934   ZZcz 10216   ...cfz 10977   #chash 11547
This theorem is referenced by:  ballotlemiex  24540  ballotlemsup  24543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-hash 11548
  Copyright terms: Public domain W3C validator