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Theorem ballotlem7 23110
Description:  R is a bijection between two subsets of  ( O  \  E ): one where a vote for A is picked first, and one where a vote for B is picked first (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem7  |-  ( R  |`  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) : {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } -1-1-onto-> { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k   
i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c, F    x, M    x, N, k, i
Allowed substitution hints:    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    E( x)    I( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem7
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.r . . 3  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
21funmpt2 5307 . 2  |-  Fun  R
3 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
4 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
5 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
6 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
7 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
8 ballotth.e . . 3  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . 3  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . 3  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
11 ballotth.s . . 3  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1ballotlemrinv 23108 . 2  |-  `' R  =  R
13 rabid 2729 . . . . . 6  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  1  e.  c ) )
14 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S `
 c )  e. 
_V
15 imaexg 5042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S `  c )  e.  _V  ->  (
( S `  c
) " c )  e.  _V )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S `  c )
" c )  e. 
_V
1716, 1fnmpti 5388 . . . . . . . . . . 11  |-  R  Fn  ( O  \  E )
18 nvof1o 23052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  ( O 
\  E )  /\  `' R  =  R
)  ->  R :
( O  \  E
)
-1-1-onto-> ( O  \  E ) )
1917, 12, 18mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  R :
( O  \  E
)
-1-1-onto-> ( O  \  E )
20 f1of 5488 . . . . . . . . . 10  |-  ( R : ( O  \  E ) -1-1-onto-> ( O  \  E
)  ->  R :
( O  \  E
) --> ( O  \  E ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  R :
( O  \  E
) --> ( O  \  E )
2221ffvelrni 5680 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  c )  e.  ( O  \  E
) )
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  ( R `  c
)  e.  ( O 
\  E ) )
243, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlem1c 23082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  -.  ( I `  c )  e.  c )
2524ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  c  ->  -.  ( I `  c
)  e.  c ) )
263, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1ballotlem1ri 23109 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 c )  <->  ( I `  c )  e.  c ) )
2726notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  ( R `  c )  <->  -.  ( I `  c
)  e.  c ) )
2825, 27sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  c  ->  -.  1  e.  ( R `  c )
) )
2928imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  -.  1  e.  ( R `  c ) )
3023, 29jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c
) ) )
3113, 30sylbi 187 . . . . 5  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  ->  (
( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c )
) )
3231rgen 2621 . . . 4  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( ( R `
 c )  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  ( R `  c
) )
33 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( R `  c )  ->  (
1  e.  b  <->  1  e.  ( R `  c ) ) )
3433notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( R `  c )  ->  ( -.  1  e.  b  <->  -.  1  e.  ( R `
 c ) ) )
3534elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  b }  <->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  ( R `  c
) ) )
36 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  (
1  e.  b  <->  1  e.  c ) )
3736notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  c  ->  ( -.  1  e.  b  <->  -.  1  e.  c ) )
3837cbvrabv 2800 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  b }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
3938eleq2i 2360 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  b }  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
4035, 39bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c )
)  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
4140ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c ) )  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
4232, 41mpbi 199 . . 3  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
43 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ( O  \  E )
4416, 1dmmpti 5389 . . . . 5  |-  dom  R  =  ( O  \  E )
4543, 44sseqtr4i 3224 . . . 4  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  dom  R
46 nfrab1 2733 . . . . 5  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }
47 nfrab1 2733 . . . . 5  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
48 nfmpt1 4125 . . . . . 6  |-  F/_ c
( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
491nfceqi 2428 . . . . . 6  |-  ( F/_ c R  <->  F/_ c ( c  e.  ( O  \  E )  |->  ( ( S `  c )
" c ) ) )
5048, 49mpbir 200 . . . . 5  |-  F/_ c R
5146, 47, 50funimass4f 23058 . . . 4  |-  ( ( Fun  R  /\  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } 
C_  dom  R )  ->  ( ( R " { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
522, 45, 51mp2an 653 . . 3  |-  ( ( R " { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) 
C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
5342, 52mpbir 200 . 2  |-  ( R
" { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
54 rabid 2729 . . . . . 6  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  c ) )
5522adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( R `  c )  e.  ( O  \  E ) )
563, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemic 23081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( I `  c )  e.  c )
5756ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  c  ->  ( I `  c
)  e.  c ) )
5857, 26sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  c  ->  1  e.  ( R `
 c ) ) )
5958imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  1  e.  ( R `  c ) )
6055, 59jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E
)  /\  1  e.  ( R `  c ) ) )
6154, 60sylbi 187 . . . . 5  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  ( R `  c ) ) )
6261rgen 2621 . . . 4  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  ( R `  c
) )
6333elrab 2936 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  b }  <->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E
)  /\  1  e.  ( R `  c ) ) )
6436cbvrabv 2800 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  b }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }
6564eleq2i 2360 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  b }  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )
6663, 65bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  ( R `  c ) )  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )
6766ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  ( R `  c
) )  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( R `
 c )  e. 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )
6862, 67mpbi 199 . . 3  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( R `
 c )  e. 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }
69 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ( O  \  E
)
7069, 44sseqtr4i 3224 . . . 4  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
dom  R
7147, 46, 50funimass4f 23058 . . . 4  |-  ( ( Fun  R  /\  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  dom  R )  ->  ( ( R
" { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } 
( R `  c
)  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) )
722, 70, 71mp2an 653 . . 3  |-  ( ( R " { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( R `
 c )  e. 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )
7368, 72mpbir 200 . 2  |-  ( R
" { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }
742, 12, 53, 73, 45, 70rinvf1o 23054 1  |-  ( R  |`  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) : {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } -1-1-onto-> { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlem8  23111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-hash 11354
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