Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem8 Unicode version

Theorem ballotlem8 23968
Description: There are as many countings with ties starting with a ballot for A as there are starting with a ballot for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem8  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k   
i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c, F    x, M    x, N, k, i
Allowed substitution hints:    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    E( x)    I( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem8
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . 4  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . 4  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . 4  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . 4  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . 4  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . 4  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . 4  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . 4  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . . 4  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
10 ballotth.r . . . 4  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlem7 23967 . . 3  |-  ( R  |`  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) : {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } -1-1-onto-> { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
121, 2, 3ballotlemoex 23917 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
13 difexg 4199 . . . . . 6  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  \  E )  e. 
_V )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( O 
\  E )  e. 
_V
1514rabex 4202 . . . 4  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  _V
1615f1oen 6925 . . 3  |-  ( ( R  |`  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } ) : { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } -1-1-onto-> { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ~~  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
1711, 16ax-mp 8 . 2  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ~~  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
18 hasheni 11394 . 2  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } 
~~  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } )  =  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
1917, 18ax-mp 8 1  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   {crab 2581   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    i^i cin 3185   ifcif 3599   ~Pcpw 3659   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   `'ccnv 4725    |` cres 4728   "cima 4729   -1-1-onto->wf1o 5291   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    ~~ cen 6903   supcsup 7238   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   ZZcz 10071   ...cfz 10829   #chash 11384
This theorem is referenced by:  ballotth  23969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-fz 10830  df-hash 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator