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Theorem ballotlemfc0 24522
Description:  F takes value 0 between negative and positive values. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfp1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfp1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfc0.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
ballotlemfc0.4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  C ) `
 J ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfc0  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfc0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5661 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq1d 4156 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
32elrab 3028 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
43anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 } j  <_ 
k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )
5 simprlr 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 )
6 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
76adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
8 fzssuz 11018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
9 uzssz 10430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
108, 9sstri 3293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
11 zssre 10214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
1210, 11sstri 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1312sseli 3280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
1413ltp1d 9866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
15 1re 9016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1713, 16readdcld 9041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1813, 17ltnled 9145 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
1914, 18mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
207, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
21 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
)
22 ballotlemfc0.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  C ) `
 J ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  J
) )
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2524fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2625breq2d 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  J )
) )
27 ballotlemfp1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
28 elnnuz 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
30 eluzfz2 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
32 eleq1 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3331, 32syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3433anc2li 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
35 1z 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
36 0le1 9476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
37 0z 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ZZ
3837eluz1i 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_ 
1 ) )
3935, 36, 38mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
40 fzss1 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
4140sseld 3283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
4239, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
43 0re 9017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
45 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  M  e.  NN
46 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  e.  NN
47 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
48 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
49 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
50 ballotlemfp1.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
52 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
5445, 46, 47, 48, 49, 51, 53ballotlemfelz 24520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
5554zred 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
5644, 55ltnled 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
5742, 56sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
5834, 57syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( 0  < 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) ) )
5958imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6026, 59bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  J )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6123, 60mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )
6261ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
6362con2d 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  ->  -.  k  =  J ) )
64 nn1m1nn 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
6527, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
66 ballotlemfc0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
)
68 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
7027nnzd 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
71 fzsn 11019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7469, 73eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
7574rexeqdv 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  E. i  e.  { J }  ( ( F `  C ) `  i )  <_  0
) )
7667, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J }  (
( F `  C
) `  i )  <_  0 )
77 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
7877breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  J  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <_  0
) )
7978rexsng 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J }  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8027, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J }  (
( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `
 C ) `  J )  <_  0
) )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J }  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8276, 81mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <_  0 )
8322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  J
) )
8443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8545, 46, 47, 48, 49, 50, 70ballotlemfelz 24520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
8685zred 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
8784, 86ltnled 9145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  C
) `  J )  <->  -.  ( ( F `  C ) `  J
)  <_  0 ) )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  J )  <->  -.  (
( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8983, 88mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  J
)  <_  0 )
9082, 89pm2.65da 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
91 biortn 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
93 notnot 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
9493orbi1i 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
9592, 94syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9665, 95mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
97 elnnuz 10447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9896, 97sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
99 elfzp1 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
10127nncnd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
102 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
104101, 103npcand 9340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
105104oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
106105eleq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
107104eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
108107orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
109100, 106, 1083bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
110 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
111109, 110syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
112111biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
113 pm5.6 879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
114112, 113sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
11596nnzd 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
116115, 35jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
117 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
118117, 35jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
119 fzaddel 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
120116, 118, 119syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
121120biimp3a 1283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1221213anidm23 1243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
123 1p1e2 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
125124, 104oveq12d 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
126125eleq2d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
127 1nn0 10162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  NN0
12815, 127nn0addge1i 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
129128, 123breqtri 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <_  2
130 2z 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
131 eluz 10424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
13235, 130, 131mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
133129, 132mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
134 fzss1 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
136135sseli 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
137126, 136syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
138137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
139122, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
140139ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
141114, 140syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
14263, 141sylan2d 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
143142imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
144143adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
145 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
146145breq1d 4156 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
) )
147146elrab 3028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <_  0 ) )
148 breq1 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
149148rspccva 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
150147, 149sylan2br 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  k )
151150expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
0  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
152151con3d 127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 ) )
15321, 144, 152syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  <_  k  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 ) )
15420, 153mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 )
155 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k )
156144adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
157 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  ph )
158143adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
15940sseld 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
16039, 158, 159mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) )
16150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
162 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
163162adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
16445, 46, 47, 48, 49, 161, 163ballotlemfelz 24520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
165164zred 10300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
166157, 160, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
16743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  e.  RR )
168 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )
1696adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
k  e.  ( 1 ... J ) )
170169, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
k  e.  ( 0 ... J ) )
171142imdistani 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
17250adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
173 elfznn 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
17545, 46, 47, 48, 49, 172, 174ballotlemfp1 24521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
176175simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
177176imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
178171, 177sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
179 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
180179zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
181102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
182180, 181pncand 9337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
183182fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
184183oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
185184eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
186169, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  -  1 ) ) )
187178, 186mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  -  1 ) )
188 zlem1lt 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
18954, 37, 188sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  <->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  <  0 ) )
190189adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
191 breq1 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <  0  <->  (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
192191adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
193190, 192bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <  0 ) )
194157, 170, 187, 193syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <  0 ) )
195168, 194mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <  0 )
196166, 167, 195ltled 9146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 )
197196adantlrr 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
)
198155, 156, 197, 150syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
19920adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
200198, 199condan 770 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  C )
201175simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
202201imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
203171, 202sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) )
2046adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
205183oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
206205eqeq2d 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
207204, 206syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
208203, 207mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
209208adantlrr 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) )
210200, 209mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
211 breq1 4149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  ( (
( F `  C
) `  k )  +  1 )  <_ 
0 ) )
212211notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  ( -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
213210, 212syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  ( -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
214154, 213mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( ( ( F `
 C ) `  k )  +  1 )  <_  0 )
2156, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
216215, 54syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
217216adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
218 zleltp1 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
21937, 218mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
22043a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
221 zre 10211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
22215a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
223221, 222readdcld 9041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  +  1 )  e.  RR )
224220, 223ltnled 9145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
225219, 224bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
226217, 225syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
227214, 226mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) )
228217zred 10300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
22943a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  0  e.  RR )
230228, 229letri3d 9140 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) ) )
2315, 227, 230mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
2324, 231sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
233 ssrab2 3364 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  C_  (
1 ... J )
234233, 12sstri 3293 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  C_  RR
235234a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  C_  RR )
236 fzfi 11231 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
237 ssfi 7258 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  e.  Fin )
238236, 233, 237mp2an 654 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  e.  Fin
239238a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  e.  Fin )
240 rabn0 3583 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
24166, 240sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  =/=  (/) )
242 fimaxre 9880 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
)
243235, 239, 241, 242syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } j  <_ 
k )
244232, 243reximddv 23799 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 } 
( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
245 elrabi 3026 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
246245anim1i 552 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  /\  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )  -> 
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )
247246reximi2 2748 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
248244, 247syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643   {crab 2646    \ cdif 3253    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968   #chash 11538
This theorem is referenced by:  ballotlem5  24529  ballotlemic  24536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-hash 11539
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