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Theorem ballotlemfc0 23051
Description:  F takes value 0 between negative and positive values. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfp1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfp1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfc0.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
ballotlemfc0.4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  C ) `
 J ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfc0  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfc0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
32elrab 2923 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
43anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 } j  <_ 
k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )
5 simprlr 739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 )
6 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
76adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
8 fzssuz 10832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
9 uzssz 10247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
108, 9sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
11 zssre 10031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
1210, 11sstri 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1312sseli 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
14 ltp1 9594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
16 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1813, 17readdcld 8862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1913, 18ltnled 8966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
2015, 19mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
217, 20syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
22 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
)
23 ballotlemfc0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  C ) `
 J ) )
2423adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  J
) )
25 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2625fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2726breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  J )
) )
28 ballotlemfp1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
29 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3028, 29sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
31 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
33 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3432, 33syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3534anc2li 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
36 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
37 0le1 9297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  1
3836, 37pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_  1 )
39 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  ZZ
4039eluz1i 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_ 
1 ) )
4138, 40mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
42 fzss1 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
4342sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
4441, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
45 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
4645a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
47 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  M  e.  NN
48 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  N  e.  NN
49 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
50 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
51 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
52 ballotlemfp1.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
5352adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
54 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
5647, 48, 49, 50, 51, 53, 55ballotlemfelz 23049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
5711, 56sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
5846, 57ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
5944, 58sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6035, 59syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( 0  < 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) ) )
6160imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6227, 61bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  J )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6324, 62mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )
6463ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
6564con2d 107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  ->  -.  k  =  J ) )
66 nn1m1nn 9766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
6728, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
68 ballotlemfc0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
)
70 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
7170adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
729, 30sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
73 fzsn 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7472, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7671, 75eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
7776rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  E. i  e.  { J }  ( ( F `  C ) `  i )  <_  0
) )
7869, 77mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J }  (
( F `  C
) `  i )  <_  0 )
79 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
8079breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <_  0
) )
8180rexsng 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J }  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8228, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J }  (
( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `
 C ) `  J )  <_  0
) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J }  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8478, 83mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <_  0 )
8523adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  J
) )
8645a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8747, 48, 49, 50, 51, 52, 72ballotlemfelz 23049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
8811, 87sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
8986, 88ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  C
) `  J )  <->  -.  ( ( F `  C ) `  J
)  <_  0 ) )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  J )  <->  -.  (
( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
9185, 90mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  J
)  <_  0 )
9284, 91pm2.65da 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
93 biortn 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
95 notnot 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
9695orbi1i 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
9794, 96syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9867, 97mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
99 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
10098, 99sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
101 elfzp1 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
103 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  -  1 )  =  ( J  -  1 )
10412, 32sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
105104recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
106 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
108105, 107subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  CC )
109105, 107, 108subadd2d 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  =  ( J  -  1 )  <-> 
( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J ) )
110103, 109mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
111110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
112111eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
113110eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
114113orbi2d 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
115102, 112, 1143bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
116 orcom 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
117116bibi2i 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... J )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  <->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
118117imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) ) )
119115, 118mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
120119biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
121 pm5.6 878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
122120, 121sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
12336a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
12498nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
125123, 124jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
126 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
127126, 36jctir 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
128125, 127anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) ) )
129 fzaddel 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
130128, 129syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
131130biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1321313impia 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1331323anidm23 1241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
134 1p1e2 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  +  1 )  =  2
135134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
136135, 110oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
137136eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
138 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  NN0
13916, 138nn0addge1i 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
140139, 134breqtri 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  2
141 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ZZ
14236, 141pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
143 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
144142, 143ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
145140, 144mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
146 fzss1 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
147145, 146ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
148147sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
149137, 148syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
150149adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
151133, 150mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
153122, 152syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
15465, 153sylan2d 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
155154imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
156155adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
157 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
158157breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
) )
159158elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <_  0 ) )
160 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
161160rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
162159, 161sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  k )
163162anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
)  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k )
164163ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
0  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
165164con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 ) )
16622, 156, 165syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  <_  k  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 ) )
16721, 166mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 )
16822adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k )
169156adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
170 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  ph )
171155adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
17242sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
17341, 171, 172mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) )
174170, 173jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
17552adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
176 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
177176adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
17847, 48, 49, 50, 51, 175, 177ballotlemfelz 23049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
17911, 178sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
180174, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
18145a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  e.  RR )
182 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )
1836adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
k  e.  ( 1 ... J ) )
184183, 44syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
k  e.  ( 0 ... J ) )
185154imdistani 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
186185anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C ) )
18752adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
188 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
189188adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
19047, 48, 49, 50, 51, 187, 189ballotlemfp1 23050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
191190simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
192191imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
193186, 192syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
19410sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
195194zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
196106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
197195, 196pncand 9158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
198197fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
199198oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
200199eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
201183, 200syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  -  1 ) ) )
202193, 201mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  -  1 ) )
203170, 184, 202jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
204 zlem1lt 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
20556, 39, 204sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  <->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  <  0 ) )
206205adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
207 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <  0  <->  (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
208207adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
209206, 208bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <  0 ) )
210203, 209syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <  0 ) )
211182, 210mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <  0 )
212180, 181, 211ltled 8967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 )
213212adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
)
214168, 169, 213, 162syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
21521adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
216214, 215condan 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  C )
217185anim1i 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C ) )
218190simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
219218imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
220217, 219syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) )
2216adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
222198oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
223222eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
224221, 223syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
225220, 224mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
226225adantlrr 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) )
227216, 226mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
228 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  ( (
( F `  C
) `  k )  +  1 )  <_ 
0 ) )
229228notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  ( -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
230227, 229syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  ( -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
231167, 230mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( ( ( F `
 C ) `  k )  +  1 )  <_  0 )
2326, 44syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
233232ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
234233imdistani 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J ) ) )
235234, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
236235adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
237 zleltp1 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
23839, 237mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
23945a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
240 zre 10028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
24116a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
242240, 241readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  +  1 )  e.  RR )
243239, 242ltnled 8966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
244238, 243bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
245236, 244syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
246231, 245mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) )
2475, 246jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )
248236, 240syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
24945a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  0  e.  RR )
250248, 249letri3d 8961 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) ) )
251247, 250mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
2524, 251sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
253 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  C_  (
1 ... J )
254253, 12sstri 3188 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  C_  RR
255254a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  C_  RR )
256 fzfi 11034 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
257 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  e.  Fin )
258256, 253, 257mp2an 653 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  e.  Fin
259258a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  e.  Fin )
260 rabn0 3474 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
26168, 260sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  =/=  (/) )
262 fimaxre 9701 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
)
263255, 259, 261, 262syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } j  <_ 
k )
264252, 263reximddv 23028 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 } 
( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
2653simplbi 446 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
266265anim1i 551 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  /\  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )  -> 
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )
267266reximi2 2649 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
268264, 267syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlem5  23058  ballotlemic  23065
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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