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Theorem ballotlemfcc 23068
Description:  F takes value 0 between positive and negative values. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfcc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfcc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfcc.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
ballotlemfcc.4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfcc  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfcc
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
32elrab 2936 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
43anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )
5 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
65adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  k  e.  ( 1 ... J ) )
7 fzssuz 10848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 uzssz 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
97, 8sstri 3201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
10 zssre 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1211sseli 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
13 ltp1 9610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
15 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
1615a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1712, 16readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1812, 17ltnled 8982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
1914, 18mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
206, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
21 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k )
22 ballotlemfcc.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
24 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2524fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2625breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <  0
) )
27 ballotlemfcc.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
28 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
30 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
32 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3331, 32syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3433anc2li 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
35 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  ZZ
36 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  1
3735, 36pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_  1 )
38 0z 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  ZZ
3938eluz1i 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_ 
1 ) )
4037, 39mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
41 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
4241sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
4340, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
44 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  M  e.  NN
45 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  N  e.  NN
46 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
47 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
48 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
49 ballotlemfcc.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
51 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
5251adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
5344, 45, 46, 47, 48, 50, 52ballotlemfelz 23065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
5410, 53sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
55 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  RR
5655a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
5754, 56ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5843, 57sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5934, 58syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
6059imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
6126, 60bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
6223, 61mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )
6362ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
6463con2d 107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  ->  -.  k  =  J ) )
65 nn1m1nn 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
6627, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
67 ballotlemfcc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
69 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
7069adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
718, 29sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
72 fzsn 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7570, 74eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
7675rexeqdv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
7768, 76mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
78 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
7978breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
8079rexsng 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
8127, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
8281adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
8377, 82mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) )
8422adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
8544, 45, 46, 47, 48, 49, 71ballotlemfelz 23065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
8610, 85sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
8755a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8886, 87ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  J )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J ) ) )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) ) )
9084, 89mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) )
9183, 90pm2.65da 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
92 biortn 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9391, 92syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
94 notnot 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
9594orbi1i 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
9693, 95syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9766, 96mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
98 elnnuz 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9997, 98sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
100 elfzp1 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
102 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  -  1 )  =  ( J  -  1 )
10311, 31sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
104103recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
105 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  CC
106105a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
107104, 106subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  CC )
108104, 106, 107subadd2d 9192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  =  ( J  -  1 )  <-> 
( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J ) )
109102, 108mpbii 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
110109oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
111110eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
112109eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
113112orbi2d 682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
114101, 111, 1133bitr3d 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
115 orcom 376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
116115bibi2i 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... J )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  <->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
117116imbi2i 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) ) )
118114, 117mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
119118biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
120 pm5.6 878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
121119, 120sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
12235a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
12397nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
124122, 123jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
125 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
126125, 35jctir 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
127124, 126anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) ) )
128 fzaddel 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
129127, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
130129biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
1311303impia 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1321313anidm23 1241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
133 1p1e2 9856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  +  1 )  =  2
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
135134, 109oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
136135eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
137 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  NN0
13815, 137nn0addge1i 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
139138, 133breqtri 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  2
140 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ZZ
14135, 140pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
142 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
143141, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
144139, 143mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
145 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
146144, 145ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
147146sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
148136, 147syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
149148adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
150132, 149mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
151150ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
152121, 151syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
15364, 152sylan2d 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
154153imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
155154adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
156 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
157156breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
158157elrab 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
159 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
160159rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
161158, 160sylan2br 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
162161anassrs 629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k )
163162ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
) )
164163con3d 125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( -.  ( k  +  1 )  <_ 
k  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
16521, 155, 164syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
16620, 165mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
16721adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )
168155adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
16955a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  e.  RR )
170 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ph )
171154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )
17241sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
17340, 171, 172mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )
174170, 173jca 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
17549adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
176 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
177176adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
17844, 45, 46, 47, 48, 175, 177ballotlemfelz 23065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
17910, 178sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
180174, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
181 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)
1825adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
183182, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
184153imdistani 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
185184anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C ) )
18649adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
187 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
188187adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
18944, 45, 46, 47, 48, 186, 188ballotlemfp1 23066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
190189simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
191190imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
192185, 191syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
1939sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
194193zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
195105a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
196194, 195pncand 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
197196fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
198197oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
199198eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
200182, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
201192, 200mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) )
202170, 183, 201jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J ) )  /\  ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  k )  +  1 ) ) )
203 zleltp1 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
20438, 53, 203sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
205204adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) ) )
206 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
207206adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) ) )
208205, 207bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
209202, 208syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
210181, 209mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
211169, 180, 210ltled 8983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
212211adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) ) )
213167, 168, 212, 161syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
21420adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
215213, 214pm2.65da 559 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  e.  C )
216184anim1i 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C ) )
217189simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
218217imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
219216, 218syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  - 
1 ) )
2205adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
221197oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
222221eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
223220, 222syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
224219, 223mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
225224adantlrr 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
226215, 225mpdan 649 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
227 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
228227notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
229226, 228syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
230166, 229mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
2315, 43syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
232231ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
233232imdistani 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J ) ) )
234233, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
235234adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  ZZ )
236 zlem1lt 10085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
23738, 236mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  <  0
) )
238 zre 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
23915a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
240238, 239resubcld 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  e.  RR )
24155a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
242240, 241ltnled 8982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
243237, 242bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
244235, 243syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
245230, 244mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)
246 simprlr 739 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)
247245, 246jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
248235, 238syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  RR )
24955a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  e.  RR )
250248, 249letri3d 8977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
251247, 250mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
2524, 251sylan2b 461 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
253 ssrab2 3271 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
)
254253, 11sstri 3201 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  RR
255254a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR )
256 fzfi 11050 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
257 ssfi 7099 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin )
258256, 253, 257mp2an 653 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin
259258a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  e.  Fin )
260 rabn0 3487 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
26167, 260sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  =/=  (/) )
262 fimaxre 9717 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
263255, 259, 261, 262syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
264252, 263reximddv 23044 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
2653simplbi 446 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
266265anim1i 551 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 ) )
267266reximi2 2662 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
268264, 267syl 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlem1c  23082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
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