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Theorem ballotlemfp1 23050
Description: If the  J th ballot is for A,  ( F `  C ) goes up 1. If the  J th ballot is for B,  ( F `  C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfp1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfp1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1  |-  ( ph  ->  ( ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( J  -  1
) )  -  1 ) )  /\  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O, c    F, c, i    C, i    i, J    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . . 6  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . 6  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
87nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 23048 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  =  ( (
# `  ( (
1 ... J )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... J ) 
\  C ) ) ) )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) ) ) )
11 elnnuz 10264 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
127, 11sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13 fzspl 23030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... J )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } ) )
1413ineq1d 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  i^i 
C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  i^i  C
) )
15 indir 3417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  i^i  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) )
1614, 15syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  i^i 
C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) ) )
1712, 16syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... J )  i^i  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )
1817adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  i^i  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )
19 disjsn 3693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  C )
20 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  i^i  { J }
)  =  ( { J }  i^i  C
)
2120eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  i^i  { J } )  =  (/)  <->  ( { J }  i^i  C
)  =  (/) )
2219, 21bitr3i 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  J  e.  C  <->  ( { J }  i^i  C )  =  (/) )
2322biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( { J }  i^i  C )  =  (/) )
2423adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( { J }  i^i  C
)  =  (/) )
2524uneq2d 3329 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  (/) ) )
26 un0 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )
2726a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )
2818, 25, 273eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  i^i  C )  =  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )
2928fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) ) )
3013difeq1d 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  \  C
) )
31 difundir 3422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  \  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C ) )
3230, 31syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) ) )
3312, 32syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... J )  \  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )
3433adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )
35 disj3 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { J }  i^i  C )  =  (/)  <->  { J }  =  ( { J }  \  C ) )
3623, 35sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  J  e.  C  ->  { J }  =  ( { J }  \  C ) )
3736eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( { J }  \  C )  =  { J } )
3837uneq2d 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )
3938adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )
4034, 39eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u. 
{ J } ) )
4140fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) ) )
428adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  J  e.  ZZ )
43 uzid 10242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  ( ZZ>= `  J )
)
44 uznfz 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
458, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )
47 difss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  C_  ( 1 ... ( J  -  1 ) )
4847sseli 3176 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  ->  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
4946, 48nsyl 113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )
50 fzfi 11034 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  e. 
Fin
51 ssfi 7083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  C_  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  e.  Fin )
5250, 47, 51mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  e. 
Fin
5349, 52jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  e.  Fin  /\  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )
54 hashunsng 11367 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  (
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  e.  Fin  /\ 
-.  J  e.  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  ->  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
5542, 53, 54sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u. 
{ J } ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) )
5641, 55eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  +  1 ) )
5729, 56oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C ) )  -  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
58 1z 10053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
5958a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
608, 59zsubcld 10122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
611, 2, 3, 4, 5, 6, 60ballotlemfval 23048 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) ) )
6261adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) ) )
6362oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) )  -  1 ) )
64 inss1 3389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  C_  ( 1 ... ( J  -  1 ) )
65 ssfi 7083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  C_  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  e.  Fin )
6650, 64, 65mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  e. 
Fin
67 hashcl 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e. 
NN0 )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  e.  NN0
6968nn0cni 9977 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  e.  CC
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e.  CC )
71 diffi 7089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  e.  Fin )
7250, 71ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  e. 
Fin
73 hashcl 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e. 
NN0 )
7472, 73ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  e.  NN0
7574nn0cni 9977 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  e.  CC
7675a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e.  CC )
77 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7877a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  1  e.  CC )
7970, 76, 78subsub4d 9188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
8063, 79eqtr2d 2316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 ) )
8110, 57, 803eqtrd 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  - 
1 ) )
8281ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 ) ) )
838adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  J  e.  ZZ )
849adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( # `  (
( 1 ... J
)  i^i  C )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... J )  \  C
) ) ) )
8583, 84syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) ) ) )
8617fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... J
)  i^i  C )
)  =  ( # `  ( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  u.  ( { J }  i^i  C
) ) ) )
8786adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) ) ) )
88 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  J  e.  C )
89 snssg 3754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  C  ->  ( J  e.  C  <->  { J }  C_  C ) )
9089ibi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  C  ->  { J }  C_  C )
91 df-ss 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  C_  C  <->  ( { J }  i^i  C )  =  { J } )
9290, 91sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  C  ->  ( { J }  i^i  C
)  =  { J } )
9392uneq2d 3329 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) )
9493fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) ) )
9588, 94syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) ) )
9683, 43, 443syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )
9764sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  ->  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
9897con3i 127 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  ->  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )
9996, 98syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )
10099, 66jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  e.  Fin  /\  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) ) )
101 hashunsng 11367 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  e.  Fin  /\ 
-.  J  e.  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  ->  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 ) ) )
10288, 100, 101sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u. 
{ J } ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  +  1 ) )
10387, 95, 1023eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 ) )
10433fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
)  =  ( # `  ( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C
) ) ) )
105104adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) ) ) )
106 difin2 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  C_  C  ->  ( { J }  \  C )  =  ( ( C  \  C
)  i^i  { J } ) )
107 difid 3522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
\  C )  =  (/)
108107ineq1i 3366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  C )  i^i  { J }
)  =  ( (/)  i^i 
{ J } )
109 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i 
{ J } )  =  ( { J }  i^i  (/) )
110 in0 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { J }  i^i  (/) )  =  (/)
111108, 109, 1103eqtri 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  C )  i^i  { J }
)  =  (/)
112106, 111syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  C_  C  ->  ( { J }  \  C )  =  (/) )
11390, 112syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  C  ->  ( { J }  \  C
)  =  (/) )
114113uneq2d 3329 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) )
115114fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) ) )
11688, 115syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) ) )
117 un0 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )
118117a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )
119118fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  (/) ) )  =  (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) )
120105, 116, 1193eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )
121103, 120oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C ) )  -  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
) )  =  ( ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) ) )
12269a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e.  CC )
12377a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  1  e.  CC )
12475a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e.  CC )
125122, 123, 124addsubd 9178 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )  =  ( ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) )  +  1 ) )
12661adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) ) )
12783, 126syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) ) )
128127oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) )  +  1 ) )
129125, 128eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  +  1 ) )
13085, 121, 1293eqtrd 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) )
131130ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  +  1 ) ) )
13282, 131jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( J  -  1
) )  -  1 ) )  /\  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlem4  23057  ballotlemi1  23061  ballotlemii  23062  ballotlemic  23065  ballotlem1c  23066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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