Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfrcn0 Structured version   Unicode version

Theorem ballotlemfrcn0 24792
 Description: Value of for a reversed counting , before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m
ballotth.n
ballotth.o
ballotth.p
ballotth.f
ballotth.e
ballotth.mgtn
ballotth.i
ballotth.s
ballotth.r
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrcn0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,,)   ()   ()   ()   ()   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem ballotlemfrcn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10316 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 ballotth.m . . . . . . . 8
4 ballotth.n . . . . . . . 8
5 nnaddcl 10027 . . . . . . . 8
63, 4, 5mp2an 655 . . . . . . 7
76nnzi 10310 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 ballotth.o . . . . . . . . 9
10 ballotth.p . . . . . . . . 9
11 ballotth.f . . . . . . . . 9
12 ballotth.e . . . . . . . . 9
13 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9
14 ballotth.i . . . . . . . . 9
15 ballotth.s . . . . . . . . 9
163, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsdom 24774 . . . . . . . 8
17 elfzelz 11064 . . . . . . . 8
1816, 17syl 16 . . . . . . 7
19183adant3 978 . . . . . 6
2019, 2zsubcld 10385 . . . . 5
213, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsgt1 24773 . . . . . 6
22 zltlem1 10333 . . . . . . 7
2322biimpa 472 . . . . . 6
242, 19, 21, 23syl21anc 1184 . . . . 5
2519zred 10380 . . . . . . 7
26 1re 9095 . . . . . . . 8
2726a1i 11 . . . . . . 7
2825, 27resubcld 9470 . . . . . 6
29 simp1 958 . . . . . . . 8
303, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 24764 . . . . . . . . 9
3130simpld 447 . . . . . . . 8
32 elfzelz 11064 . . . . . . . 8
3329, 31, 323syl 19 . . . . . . 7
3433zred 10380 . . . . . 6
358zred 10380 . . . . . 6
36 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . 12
37363ad2ant2 980 . . . . . . . . . . 11
38 elfzle1 11065 . . . . . . . . . . . 12
39383ad2ant2 980 . . . . . . . . . . 11
4037zred 10380 . . . . . . . . . . . 12
41 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12
4240, 34, 41ltled 9226 . . . . . . . . . . 11
43 elfz4 11057 . . . . . . . . . . 11
442, 33, 37, 39, 42, 43syl32anc 1193 . . . . . . . . . 10
453, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsel1i 24775 . . . . . . . . . 10
4629, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . . 9
47 elfzle2 11066 . . . . . . . . 9
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
49 zlem1lt 10332 . . . . . . . . 9
5019, 33, 49syl2anc 644 . . . . . . . 8
5148, 50mpbid 203 . . . . . . 7
5228, 34, 51ltled 9226 . . . . . 6
53 elfzle2 11066 . . . . . . 7
5429, 31, 533syl 19 . . . . . 6
5528, 34, 35, 52, 54letrd 9232 . . . . 5
56 elfz4 11057 . . . . 5
572, 8, 20, 24, 55, 56syl32anc 1193 . . . 4
58 fvex 5745 . . . . . . . . . 10
59 ovex 6109 . . . . . . . . . 10
6058, 59brcnv 5058 . . . . . . . . 9
6151, 60sylibr 205 . . . . . . . 8
623, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemi 24763 . . . . . . . . . 10
6362breq1d 4225 . . . . . . . . 9
64633ad2ant1 979 . . . . . . . 8
6561, 64mpbid 203 . . . . . . 7
66 ltso 9161 . . . . . . . . . . 11
67 cnvso 5414 . . . . . . . . . . 11
6866, 67mpbi 201 . . . . . . . . . 10
6968a1i 11 . . . . . . . . 9
703, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemsup 24767 . . . . . . . . 9
7169, 70supub 7467 . . . . . . . 8
7271con2d 110 . . . . . . 7
7329, 65, 72sylc 59 . . . . . 6
74 fveq2 5731 . . . . . . . 8
7574eqeq1d 2446 . . . . . . 7
7675elrab 3094 . . . . . 6
7773, 76sylnib 297 . . . . 5
78 imnan 413 . . . . 5
7977, 78sylibr 205 . . . 4
8057, 79mpd 15 . . 3
82 ballotth.r . . . . . . . . . 10
833, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82ballotlemro 24785 . . . . . . . . 9
8483adantr 453 . . . . . . . 8
85 elfzelz 11064 . . . . . . . . 9
8685adantl 454 . . . . . . . 8
873, 4, 9, 10, 11, 84, 86ballotlemfelz 24753 . . . . . . 7
8887zcnd 10381 . . . . . 6
8988negeq0d 9408 . . . . 5
90 eqid 2438 . . . . . . 7
913, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82, 90ballotlemfrceq 24791 . . . . . 6
9291eqeq1d 2446 . . . . 5
9389, 92bitr4d 249 . . . 4
9493necon3bid 2638 . . 3
9529, 44, 94syl2anc 644 . 2
9681, 95mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711   cdif 3319   cin 3321  cif 3741  cpw 3801   class class class wbr 4215   cmpt 4269   wor 4505  ccnv 4880  cima 4884  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  cfn 7112  csup 7448  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   clt 9125   cle 9126   cmin 9296  cneg 9297   cdiv 9682  cn 10005  cz 10287  cfz 11048  chash 11623 This theorem is referenced by:  ballotlemirc  24794 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-hash 11624
 Copyright terms: Public domain W3C validator