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Theorem ballotlemfrcn0 23088
Description: Value of  F for a reversed counting  ( R `  C ), before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrcn0  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c    R, i   
i, J
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    R( x, k, c)    S( x)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfrcn0
Dummy variables  v  u  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  e.  ZZ )
3 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
4 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
53, 4pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
6 nnaddcl 9768 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( M  +  N )  e.  NN
87nnzi 10047 . . . . . 6  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
98a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
10 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
11 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
12 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
13 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
14 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
15 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
16 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
173, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16ballotlemsdom 23070 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
18 elfzelz 10798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
1917, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
20193adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
2120, 2zsubcld 10122 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ZZ )
223, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16ballotlemsgt1 23069 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <  ( ( S `  C ) `  J ) )
23 zltlem1 10070 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  < 
( ( S `  C ) `  J
)  <->  1  <_  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) ) )
2423biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  < 
( ( S `  C ) `  J
)  ->  1  <_  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) ) )
2524imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  /\  1  <  (
( S `  C
) `  J )
)  ->  1  <_  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )
262, 20, 22, 25syl21anc 1181 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <_  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )
2720zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  RR )
28 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2928a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  e.  RR )
3027, 29resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  RR )
31 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  C  e.  ( O  \  E ) )
323, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemiex 23060 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
3332simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
34 elfzelz 10798 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3531, 33, 343syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  ZZ )
3635zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  RR )
379zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
38 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  J  e.  ZZ )
39383ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ZZ )
40 elfzle1 10799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  1  <_  J )
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <_  J )
4239zred 10117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  RR )
43 simp3 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  <  ( I `  C ) )
44 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( I `  C
)  e.  RR )  ->  ( J  < 
( I `  C
)  ->  J  <_  ( I `  C ) ) )
4544imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  RR  /\  ( I `  C
)  e.  RR )  /\  J  <  (
I `  C )
)  ->  J  <_  ( I `  C ) )
4642, 36, 43, 45syl21anc 1181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  <_  ( I `  C ) )
47 elfz2 10789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) ) )
4847biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
492, 35, 39, 41, 46, 48syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
503, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16ballotlemsel1i 23071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
5131, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
52 elfzle2 10800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  <_  (
I `  C )
)
5351, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  <_  ( I `  C ) )
54 zlem1lt 10069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  <_ 
( I `  C
)  <->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  <  (
I `  C )
) )
5520, 35, 54syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  <_  (
I `  C )  <->  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <  ( I `  C ) ) )
5653, 55mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <  ( I `
 C ) )
5730, 36, 56ltled 8967 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <_  ( I `  C ) )
58 elfzle2 10800 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
5931, 33, 583syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  <_  ( M  +  N ) )
6030, 36, 37, 57, 59letrd 8973 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
61 elfz4 10791 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  /\  ( ( ( S `  C
) `  J )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
622, 9, 21, 26, 60, 61syl32anc 1190 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
63 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( I `
 C )  e. 
_V
64 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  -  1 )  e. 
_V
6563, 64brcnv 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  C ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  <->  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 )  < 
( I `  C
) )
6656, 65sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
) `'  <  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )
673, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemi 23059 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  =  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
6867breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
) `'  <  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
69683ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( I `  C ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
7066, 69mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )
71 ltso 8903 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
72 cnvso 5214 . . . . . . . . . . 11  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
7371, 72mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  `'  <  Or  RR
7473a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `'  <  Or  RR )
753, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsup 23063 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
7674, 75supub 7210 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
7776con2d 107 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  -.  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ) )
7831, 70, 77sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } )
79 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) ) )
8079eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8180elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 }  <->  ( (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8278, 81sylnib 295 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
83 imnan 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =  0 )  <->  -.  ( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8482, 83sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8562, 84mpd 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =  0 )
86 df-ne 2448 . . 3  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =/=  0  <->  -.  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 )
8785, 86sylibr 203 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =/=  0 )
88 elfz4 10791 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
892, 35, 39, 41, 46, 88syl32anc 1190 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
90 ballotth.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
913, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 90ballotlemro 23081 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  C )  e.  O )
9291adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( R `  C )  e.  O
)
93 elfzelz 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
9493adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
953, 4, 10, 11, 12, 92, 94ballotlemfelz 23049 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  ZZ )
9695zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )
97 negeq0 9101 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  ( R `  C )
) `  J )  e.  CC  ->  ( (
( F `  ( R `  C )
) `  J )  =  0  <->  -u ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0 ) )
9896, 97syl 15 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0  <->  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  0 ) )
99 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( (
# `  ( v  i^i  u ) )  -  ( # `  ( v 
\  u ) ) ) )  =  ( u  e.  Fin , 
v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
1003, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 90, 99ballotlemfrceq 23087 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
101100eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  =  0  <->  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  0 ) )
10298, 101bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
103102necon3bid 2481 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =/=  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =/=  0
) )
10431, 89, 103syl2anc 642 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
10587, 104mpbird 223 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   `'ccnv 4688   "cima 4692   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Fincfn 6863   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlemirc  23090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-hash 11338
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