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Theorem ballotlemic 23081
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemic  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3311 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
87adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
9 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
10 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
11 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11ballotlemiex 23076 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1312simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
14 elfznn 10835 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  NN )
171, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11ballotlemi1 23077 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  =/=  1
)
18 eluz2b3 10307 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1916, 17, 18sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
20 uz2m1nn 10308 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2221adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  NN )
23 elnnuz 10280 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2423biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
25 eluzfz1 10819 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2621, 24, 253syl 18 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2726adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
28 0le1 9313 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
29 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
30 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
31 suble0 9304 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 ) )
3229, 30, 31mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 )
3328, 32mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <_ 
0
34 1nn 9773 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
3534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
361, 2, 3, 4, 5, 6, 35ballotlemfp1 23066 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3736simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) ) )
3837imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )
39 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
4039subidi 9133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4140fveq2i 5544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
4241oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 )
4342a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 ) )
441, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 23070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
456, 44syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
4645adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  0 )  =  0 )
4746oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  0 )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
4838, 43, 473eqtrrd 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  1
) )
4948breq1d 4049 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
0  -  1 )  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 ) )
5033, 49mpbii 202 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 )
5150adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) ` 
1 )  <_  0
)
52 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ i ( ( F `  C ) `  1
)  <_  0
53 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
5453breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 ) )
5552, 54rspce 2892 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  ( ( F `  C ) `  1
)  <_  0 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
5627, 51, 55syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
57 0lt1 9312 . . . . 5  |-  0  <  1
5839addid1i 9015 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
591, 2, 3, 4, 5, 6, 15ballotlemfp1 23066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
6059simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  ( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
6160imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )
6212simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
6362adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
6461, 63eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  - 
1 )  =  0 )
6515nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
67 1z 10069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
6867a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
6966, 68zsubcld 10138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
701, 2, 3, 4, 5, 7, 69ballotlemfelz 23065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
7170zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
7239a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
73 0cn 8847 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  CC
7473a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
7571, 72, 74subaddd 9191 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 )  =  0  <->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) ) )
7664, 75mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7758, 76syl5eqr 2342 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7877breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 0  <  1  <->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) ) )
7957, 78mpbii 202 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
8079adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
811, 2, 3, 4, 5, 8, 22, 56, 80ballotlemfc0 23067 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
821, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11ballotlemimin 23080 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
8382ad2antrr 706 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
8481, 83condan 769 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlem7  23110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
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