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Theorem ballotlemic 24543
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemic  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3412 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 24538 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1211simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 elfznn 11012 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  NN )
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemi1 24539 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  =/=  1
)
17 eluz2b3 10481 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1815, 16, 17sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
19 uz2m1nn 10482 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2120adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  NN )
22 elnnuz 10454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2322biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 eluzfz1 10996 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2520, 23, 243syl 19 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
27 1nn 9943 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 28ballotlemfp1 24528 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3029simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) ) )
3130imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )
32 1m1e0 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3332fveq2i 5671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
3433oveq1i 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 )
3534a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  -  1 ) )
361, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 24532 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
376, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
3837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  0 )  =  0 )
3938oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  0 )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
4031, 35, 393eqtrrd 2424 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  1
) )
41 0le1 9483 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
42 0re 9024 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
43 1re 9023 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
44 suble0 9474 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 ) )
4542, 43, 44mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  -  1 )  <_  0  <->  0  <_  1 )
4641, 45mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( 0  -  1 )  <_ 
0
4740, 46syl6eqbrr 4191 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 )
4847adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) ` 
1 )  <_  0
)
49 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
5049breq1d 4163 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  1 )  <_ 
0 ) )
5150rspcev 2995 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  ( ( F `  C ) `  1
)  <_  0 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
5226, 48, 51syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. i  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
53 0lt1 9482 . . . . 5  |-  0  <  1
54 ax-1cn 8981 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5554addid1i 9185 . . . . . 6  |-  ( 1  +  0 )  =  1
561, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 24528 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
5756simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  ( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
5857imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )
5911simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
6059adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
6158, 60eqtr3d 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  - 
1 )  =  0 )
626adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
6314nnzd 10306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
65 1z 10243 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
6764, 66zsubcld 10312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
681, 2, 3, 4, 5, 62, 67ballotlemfelz 24527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
6968zcnd 10308 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
7054a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
71 0cn 9017 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
7369, 70, 72subaddd 9361 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  -  1 )  =  0  <->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) ) )
7461, 73mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 1  +  0 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7555, 74syl5eqr 2433 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7653, 75syl5breq 4188 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7776adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  <  (
( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
781, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 52, 77ballotlemfc0 24529 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
791, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 24542 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
8079ad2antrr 707 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  C )  /\  -.  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
8178, 80condan 770 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  C
)  ->  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    \ cdif 3260    i^i cin 3262   ~Pcpw 3742   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   supcsup 7380   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   #chash 11545
This theorem is referenced by:  ballotlem7  24572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-hash 11546
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