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Theorem ballotlemimin 23064
Description:  ( I `  C ) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemimin  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemimin
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2 elfzle2 10800 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  ->  k  <_  ( ( I `  C )  -  1 ) )
32adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  k  <_  (
( I `  C
)  -  1 ) )
4 elfzelz 10798 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
54adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
6 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  e.  NN
7 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  e.  NN
8 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
9 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
11 ballotth.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
12 ballotth.mgtn . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  < 
M
13 ballotth.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemiex 23060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1514simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
16 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1817nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1918adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
20 zltlem1 10070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  ->  ( k  < 
( I `  C
)  <->  k  <_  (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
215, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( k  < 
( I `  C
)  <->  k  <_  (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
223, 21mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  k  <  (
I `  C )
)
231, 22syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  k  <  ( I `  C
) )
2423anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )  /\  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 )  ->  k  <  ( I `  C
) )
25 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
2625a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ZZ )
2718, 26zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ZZ )
2827zred 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  RR )
29 nnssre 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  C_  RR
306, 7pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
31 nnaddcl 9768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  +  N )  e.  NN
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
3429, 33sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
35 elfzle2 10800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
3733nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
38 zlem1lt 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
)  <->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  <  ( M  +  N )
) )
3918, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
) ) )
4036, 39mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <  ( M  +  N ) )
4128, 34, 40ltled 8967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
42 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  <-> 
( ( I `  C )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4327, 37, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
4441, 43mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
45 fzss2 10831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
4746sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  -> 
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )
48 rabid 2716 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 }  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 ) )
496, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemsup 23063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
50 ltso 8903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <  Or  RR
51 cnvso 5214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
5250, 51mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `'  <  Or  RR
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) )  ->  `'  <  Or  RR )
54 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
5553, 54supub 7210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) )  ->  (
k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
5649, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
576, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemi 23059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  =  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
5857breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
) `'  <  k  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
5958notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  ( I `  C
) `'  <  k  <->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
6056, 59sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -.  ( I `  C
) `'  <  k
) )
6148, 60syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )  ->  -.  (
I `  C ) `'  <  k ) )
6247, 61syland 467 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )  ->  -.  (
I `  C ) `'  <  k ) )
6362imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  -.  ( I `  C
) `'  <  k
)
64 ltrel 8887 . . . . . . . . 9  |-  Rel  <
6564relbrcnv 5054 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C ) `'  <  k  <->  k  <  ( I `  C ) )
6665notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( I `  C
) `'  <  k  <->  -.  k  <  ( I `
 C ) )
6763, 66sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  -.  k  <  ( I `  C ) )
6867anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )  /\  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 )  ->  -.  k  <  ( I `  C ) )
6924, 68pm2.65da 559 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 )
7069ex 423 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 ) )
7170ralrimiv 2625 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  A. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) )  -.  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 )
72 ralnex 2553 . 2  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
7371, 72sylib 188 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlemic  23065  ballotlem1c  23066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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