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Theorem ballotlemimin 23080
Description:  ( I `  C ) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemimin  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemimin
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2 elfzle2 10816 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  ->  k  <_  ( ( I `  C )  -  1 ) )
32adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  k  <_  (
( I `  C
)  -  1 ) )
4 elfzelz 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
54adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
6 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  e.  NN
7 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  e.  NN
8 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
9 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
11 ballotth.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
12 ballotth.mgtn . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  < 
M
13 ballotth.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
146, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemiex 23076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1514simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
16 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1817nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1918adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
20 zltlem1 10086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  ->  ( k  < 
( I `  C
)  <->  k  <_  (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
215, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( k  < 
( I `  C
)  <->  k  <_  (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
223, 21mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  k  <  (
I `  C )
)
231, 22syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  k  <  ( I `  C
) )
2423anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )  /\  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 )  ->  k  <  ( I `  C
) )
25 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
2625a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ZZ )
2718, 26zsubcld 10138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ZZ )
2827zred 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  RR )
29 nnssre 9766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  C_  RR
306, 7pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )
31 nnaddcl 9784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  +  N )  e.  NN
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  NN )
3429, 33sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
35 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
3615, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
3733nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
38 zlem1lt 10085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
)  <->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  <  ( M  +  N )
) )
3918, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
) ) )
4036, 39mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <  ( M  +  N ) )
4128, 34, 40ltled 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
42 eluz 10257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  <-> 
( ( I `  C )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4327, 37, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
4441, 43mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
45 fzss2 10847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  ->  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
4746sseld 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  -> 
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )
48 rabid 2729 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 }  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 ) )
496, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemsup 23079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
50 ltso 8919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <  Or  RR
51 cnvso 5230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
5250, 51mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `'  <  Or  RR
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) )  ->  `'  <  Or  RR )
54 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
5553, 54supub 7226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) )  ->  (
k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
5649, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
576, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemi 23075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  =  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
5857breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
) `'  <  k  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
5958notbid 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  ( I `  C
) `'  <  k  <->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  k ) )
6056, 59sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -.  ( I `  C
) `'  <  k
) )
6148, 60syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )  ->  -.  (
I `  C ) `'  <  k ) )
6247, 61syland 467 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )  ->  -.  (
I `  C ) `'  <  k ) )
6362imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  -.  ( I `  C
) `'  <  k
)
64 ltrel 8903 . . . . . . . . 9  |-  Rel  <
6564relbrcnv 5070 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C ) `'  <  k  <->  k  <  ( I `  C ) )
6665notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( I `  C
) `'  <  k  <->  -.  k  <  ( I `
 C ) )
6763, 66sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )  ->  -.  k  <  ( I `  C ) )
6867anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )  /\  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 )  ->  -.  k  <  ( I `  C ) )
6924, 68pm2.65da 559 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 )
7069ex 423 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 ) )
7170ralrimiv 2638 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  A. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) )  -.  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 )
72 ralnex 2566 . 2  |-  ( A. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
7371, 72sylib 188 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    Or wor 4329   `'ccnv 4704   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlemic  23081  ballotlem1c  23082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
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