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Theorem ballotlemodife 23056
Description: Elements of  ( O 
\  E ). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
Assertion
Ref Expression
ballotlemodife  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O, c    F, c, i    C, i
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, c)    E( x, i, c)    F( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemodife
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3162 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E ) )
2 df-or 359 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )  <-> 
( -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  ->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
3 pm3.24 852 . . . . 5  |-  -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)
43a1bi 327 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) )  <-> 
( -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  ->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
52, 4bitr4i 243 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )  <-> 
( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
6 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
7 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
8 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
9 ballotth.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
11 ballotth.e . . . . . . 7  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
126, 7, 8, 9, 10, 11ballotleme 23055 . . . . . 6  |-  ( C  e.  E  <->  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
1312notbii 287 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  E  <->  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
1413anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( C  e.  O  /\  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) ) )
15 ianor 474 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) )  <-> 
( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
1615anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) ) )  <->  ( C  e.  O  /\  ( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) ) ) )
17 andi 837 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  ( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )  <->  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) ) )
1814, 16, 173bitri 262 . . 3  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
19 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2019addid2i 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2120oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 1 ... ( M  +  N )
)
22 0z 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
23 fzp1ss 10837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 0 ... ( M  +  N
) ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
2521, 24eqsstr3i 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
2625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
2726sseld 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  O  ->  (
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -> 
i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ) )
2827imdistani 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
29 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  C  e.  O
)
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
31 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  ZZ )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
336, 7, 8, 9, 10, 29, 32ballotlemfelz 23049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  j )  e.  ZZ )
3433zred 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  j )  e.  RR )
3534sbimi 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  [ i  / 
j ] ( ( F `  C ) `
 j )  e.  RR )
36 sban 2009 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( [ i  / 
j ] C  e.  O  /\  [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) ) ) )
37 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  C  e.  O
3837sbf 1966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ i  /  j ] C  e.  O  <->  C  e.  O )
39 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )
40 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  <->  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
4139, 40sbie 1978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  <->  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
4238, 41anbi12i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ i  /  j ] C  e.  O  /\  [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  <->  ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
4336, 42bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( C  e.  O  /\  i  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) ) )
44 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ( F `  C ) `  i
)  e.  RR
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  C
) `  j )  =  ( ( F `
 C ) `  i ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( F `  C ) `  j
)  e.  RR  <->  ( ( F `  C ) `  i )  e.  RR ) )
4744, 46sbie 1978 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( ( F `  C ) `  j
)  e.  RR  <->  ( ( F `  C ) `  i )  e.  RR )
4835, 43, 473imtr3i 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  i )  e.  RR )
4928, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  i )  e.  RR )
50 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
5150a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  0  e.  RR )
5249, 51lenltd 8965 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( ( F `  C
) `  i )
) )
5352rexbidva 2560 . . . . 5  |-  ( C  e.  O  ->  ( E. i  e.  (
1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -.  0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
54 rexnal 2554 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -.  0  <  ( ( F `  C ) `
 i )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
)
5553, 54syl6bb 252 . . . 4  |-  ( C  e.  O  ->  ( E. i  e.  (
1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
5655pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 )  <->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
575, 18, 563bitr4i 268 . 2  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
581, 57bitri 240 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623   [wsb 1629    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlem5  23058  ballotlemrc  23089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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