Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemodife Unicode version

Theorem ballotlemodife 23072
Description: Elements of  ( O 
\  E ). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
Assertion
Ref Expression
ballotlemodife  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O, c    F, c, i    C, i
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, c)    E( x, i, c)    F( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemodife
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3175 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E ) )
2 df-or 359 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )  <-> 
( -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  ->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
3 pm3.24 852 . . . . 5  |-  -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)
43a1bi 327 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) )  <-> 
( -.  ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  ->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
52, 4bitr4i 243 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )  <-> 
( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
6 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
7 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
8 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
9 ballotth.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
11 ballotth.e . . . . . . 7  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
126, 7, 8, 9, 10, 11ballotleme 23071 . . . . . 6  |-  ( C  e.  E  <->  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
1312notbii 287 . . . . 5  |-  ( -.  C  e.  E  <->  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
1413anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( C  e.  O  /\  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) ) )
15 ianor 474 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) )  <-> 
( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
1615anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  ( C  e.  O  /\  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) ) )  <->  ( C  e.  O  /\  ( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  C ) `
 i ) ) ) )
17 andi 837 . . . 4  |-  ( ( C  e.  O  /\  ( -.  C  e.  O  \/  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )  <->  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O
)  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) ) )
1814, 16, 173bitri 262 . . 3  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  O )  \/  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) ) )
19 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2019addid2i 9016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2120oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 1 ... ( M  +  N )
)
22 0z 10051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
23 fzp1ss 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 0 ... ( M  +  N
) ) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
2521, 24eqsstr3i 3222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
2625a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
2726sseld 3192 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  O  ->  (
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -> 
i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) ) )
2827imdistani 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
29 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  C  e.  O
)
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
31 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  ZZ )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  j  e.  ZZ )
336, 7, 8, 9, 10, 29, 32ballotlemfelz 23065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  j )  e.  ZZ )
3433zred 10133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  O  /\  j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  j )  e.  RR )
3534sbimi 1642 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  [ i  / 
j ] ( ( F `  C ) `
 j )  e.  RR )
36 sban 2022 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( [ i  / 
j ] C  e.  O  /\  [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) ) ) )
37 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  C  e.  O
3837sbf 1979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ i  /  j ] C  e.  O  <->  C  e.  O )
39 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ j  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )
40 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  i  ->  (
j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  <->  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
4139, 40sbie 1991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) )  <->  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
4238, 41anbi12i 678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [ i  /  j ] C  e.  O  /\  [ i  /  j ] j  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  <->  ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) ) )
4336, 42bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( C  e.  O  /\  j  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( C  e.  O  /\  i  e.  (
0 ... ( M  +  N ) ) ) )
44 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j ( ( F `  C ) `  i
)  e.  RR
45 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  i  ->  (
( F `  C
) `  j )  =  ( ( F `
 C ) `  i ) )
4645eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( F `  C ) `  j
)  e.  RR  <->  ( ( F `  C ) `  i )  e.  RR ) )
4744, 46sbie 1991 . . . . . . . . 9  |-  ( [ i  /  j ] ( ( F `  C ) `  j
)  e.  RR  <->  ( ( F `  C ) `  i )  e.  RR )
4835, 43, 473imtr3i 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  i )  e.  RR )
4928, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  i )  e.  RR )
50 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
5150a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  0  e.  RR )
5249, 51lenltd 8981 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  O  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( ( F `  C
) `  i )
) )
5352rexbidva 2573 . . . . 5  |-  ( C  e.  O  ->  ( E. i  e.  (
1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -.  0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
54 rexnal 2567 . . . . 5  |-  ( E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  -.  0  <  ( ( F `  C ) `
 i )  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
)
5553, 54syl6bb 252 . . . 4  |-  ( C  e.  O  ->  ( E. i  e.  (
1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) 0  <  (
( F `  C
) `  i )
) )
5655pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 )  <->  ( C  e.  O  /\  -.  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
575, 18, 563bitr4i 268 . 2  |-  ( ( C  e.  O  /\  -.  C  e.  E
)  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
581, 57bitri 240 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  <->  ( C  e.  O  /\  E. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632   [wsb 1638    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlem5  23074  ballotlemrc  23105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354
  Copyright terms: Public domain W3C validator