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Theorem ballotlemsel1i 24762
Description: The range  ( 1 ... ( I `  C ) ) is invariant under  ( S `
 C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsel1i  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, k, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsel1i
StepHypRef Expression
1 1z 10303 . . 3  |-  1  e.  ZZ
21a1i 11 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
3 ballotth.m . . . . . 6  |-  M  e.  NN
4 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
5 ballotth.o . . . . . 6  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
6 ballotth.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
7 ballotth.f . . . . . 6  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
8 ballotth.e . . . . . 6  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . 6  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . . . . 6  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemiex 24751 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1211simpld 446 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 elfzelz 11051 . . . 4  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1514adantr 452 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
16 nnaddcl 10014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
173, 4, 16mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( M  +  N )  e.  NN
1817nnzi 10297 . . . . . . . 8  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
20 elfzle2 11053 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
2112, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
22 eluz2 10486 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
) ) )
2314, 19, 21, 22syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
24 fzss2 11084 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2625sselda 3340 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
27 ballotth.s . . . . 5  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
283, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 27ballotlemsdom 24761 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
2926, 28syldan 457 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
30 elfzelz 11051 . . 3  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
32 elfzelz 11051 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
3332adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
3433zred 10367 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  RR )
3515zred 10367 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  RR )
36 1re 9082 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  RR )
3835, 37readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( I `
 C )  +  1 )  e.  RR )
39 elfzle2 11053 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
4039adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  (
I `  C )
)
4115zcnd 10368 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  CC )
42 ax-1cn 9040 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  CC )
4441, 43pncand 9404 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 )  =  ( I `  C ) )
4540, 44breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 ) )
4634, 38, 37, 45lesubd 9622 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  <_  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
473, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 27ballotlemsv 24759 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
4826, 47syldan 457 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
49 iftrue 3737 . . . . 5  |-  ( J  <_  ( I `  C )  ->  if ( J  <_  ( I `
 C ) ,  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ,  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
5040, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) )
5148, 50eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
5246, 51breqtrrd 4230 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  <_  (
( S `  C
) `  J )
)
5314adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
54 elfznn 11072 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  J  e.  NN )
5554adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  NN )
5653, 55ltesubnnd 24154 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J )  <_  (
I `  C )
)
5726, 56syldan 457 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J )  <_  (
I `  C )
)
5851, 57eqbrtrd 4224 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  <_  (
I `  C )
)
59 elfz4 11044 . 2  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( ( S `  C ) `  J
)  /\  ( ( S `  C ) `  J )  <_  (
I `  C )
) )  ->  (
( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
602, 15, 31, 52, 58, 59syl32anc 1192 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   ...cfz 11035   #chash 11610
This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  24778  ballotlemfrcn0  24779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-hash 11611
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