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Theorem ballotlemsf1o 23072
Description: The defined  S is a bijection, and an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsf1o  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsf1o
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . 5  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . 5  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . 5  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . 5  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . 5  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . 5  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . . . 5  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsval 23067 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 23068 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  i )  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 23070 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  i )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1311, 12eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 23068 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 23070 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1614, 15eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
17 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
) ) )
18 id 19 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  i  =  j )
19 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  ->  (
i  <_  ( I `  C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  <_ 
( I `  C
) ) )
20 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
i  <_  ( I `  C )  <->  j  <_  ( I `  C ) ) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 23060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
2221simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
23 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2423peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
2522, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
2625zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
2726adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
28 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  ZZ )
2928zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  CC )
3029ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  CC )
3127, 30nncand 9162 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )  =  j )
3231eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
) ) )
3322, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
35 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN )
3635ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  NN )
3734, 36ltesubnnd 23033 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  <_  ( I `  C ) )
3837adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  j  <_  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
)  <_  ( I `  C ) )
39 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
4039a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  _V )
41 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j )  e. 
_V
4241a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  e.  _V )
4317, 18, 19, 20, 32, 38, 40, 42ifeqeqx 23034 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  =  if (
j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )  ->  j  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )
4443ex 423 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
i  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  -> 
j  =  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
45 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
) ) )
46 id 19 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  j  =  i )
47 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  ->  (
j  <_  ( I `  C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  i )  <_ 
( I `  C
) ) )
48 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
j  <_  ( I `  C )  <->  i  <_  ( I `  C ) ) )
49 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  ZZ )
5049zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  CC )
5150ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  e.  CC )
5227, 51nncand 9162 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  i ) )  =  i )
5352eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
) ) )
5434adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  ZZ )
55 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
56 elfznn 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  NN )
5755, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
i  e.  NN )
5854, 57ltesubnnd 23033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
)  <_  ( I `  C ) )
59 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  i  e. 
_V
6059a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  e.  _V )
61 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  i )  e. 
_V
6261a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  e.  _V )
6345, 46, 47, 48, 53, 58, 60, 62ifeqeqx 23034 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  j  =  if (
i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  ->  i  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6463ex 423 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
j  =  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  -> 
i  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
6544, 64impbid 183 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
i  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  <->  j  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
6610, 13, 16, 65f1o3d 23037 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) ) )
6766simpld 445 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
68 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
6920, 68, 18ifbieq12d 3587 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
7069cbvmptv 4111 . . . 4  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
7170a1i 10 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
7266simprd 449 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `' ( S `  C )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
7371, 10, 723eqtr4rd 2326 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) )
7467, 73jca 518 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  ballotlemsima  23074  ballotlemscr  23077  ballotlemrv  23078  ballotlemro  23081  ballotlemfrc  23085  ballotlemrinv0  23091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-hash 11338
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