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Theorem ballotlemsf1o 24543
Description: The defined  S is a bijection, and an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsf1o  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsf1o
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . 5  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . 5  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . 5  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . 5  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . 5  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . 5  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . . . 5  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsval 24538 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 24539 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  i )  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 24541 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  i )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1311, 12eqeltrrd 2455 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 24539 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 24541 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1614, 15eqeltrrd 2455 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
17 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
) ) )
18 id 20 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  i  =  j )
19 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  ->  (
i  <_  ( I `  C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  <_ 
( I `  C
) ) )
20 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
i  <_  ( I `  C )  <->  j  <_  ( I `  C ) ) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 24531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
2221simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
23 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2423peano2zd 10303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
2625zcnd 10301 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
28 elfzelz 10984 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  ZZ )
2928zcnd 10301 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  CC )
3029ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  CC )
3127, 30nncand 9341 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )  =  j )
3231eqcomd 2385 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
) ) )
3322, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3433adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
35 elfznn 11005 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN )
3635ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  NN )
3734, 36ltesubnnd 23993 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  <_  ( I `  C ) )
3837adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  j  <_  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
)  <_  ( I `  C ) )
39 vex 2895 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  _V )
41 ovex 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  e.  _V )
4317, 18, 19, 20, 32, 38, 40, 42ifeqeqx 23838 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  =  if (
j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )  ->  j  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )
44 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
) ) )
45 id 20 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  j  =  i )
46 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  ->  (
j  <_  ( I `  C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  i )  <_ 
( I `  C
) ) )
47 breq1 4149 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
j  <_  ( I `  C )  <->  i  <_  ( I `  C ) ) )
48 elfzelz 10984 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  ZZ )
4948zcnd 10301 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  CC )
5049ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  e.  CC )
5127, 50nncand 9341 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  i ) )  =  i )
5251eqcomd 2385 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
) ) )
5334adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  ZZ )
54 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
55 elfznn 11005 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  NN )
5654, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
i  e.  NN )
5753, 56ltesubnnd 23993 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
)  <_  ( I `  C ) )
58 vex 2895 . . . . . . 7  |-  i  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  e.  _V )
60 ovex 6038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  i )  e. 
_V
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  e.  _V )
6244, 45, 46, 47, 52, 57, 59, 61ifeqeqx 23838 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  j  =  if (
i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  ->  i  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6343, 62impbida 806 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
i  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  <->  j  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
6410, 13, 16, 63f1o3d 23877 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) ) )
6564simpld 446 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
66 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
6720, 66, 18ifbieq12d 3697 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6867cbvmptv 4234 . . . 4  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6968a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
7064simprd 450 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `' ( S `  C )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
7169, 10, 703eqtr4rd 2423 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) )
7265, 71jca 519 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   {crab 2646   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    i^i cin 3255   ifcif 3675   ~Pcpw 3735   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   `'ccnv 4810   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   supcsup 7373   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   ZZcz 10207   ...cfz 10968   #chash 11538
This theorem is referenced by:  ballotlemsima  24545  ballotlemscr  24548  ballotlemrv  24549  ballotlemro  24552  ballotlemfrc  24556  ballotlemrinv0  24562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-hash 11539
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