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Theorem ballotlemsf1o 24763
Description: The defined  S is a bijection, and an involution. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsf1o  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsf1o
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . 5  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . 5  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . 5  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . 5  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . 5  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . 5  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . . . 5  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsval 24758 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  =  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 24759 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  i )  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 24761 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  i )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1311, 12eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsv 24759 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 24761 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1614, 15eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
17 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
) ) )
18 id 20 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  i  =  j )
19 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  ->  (
i  <_  ( I `  C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  <_ 
( I `  C
) ) )
20 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
i  <_  ( I `  C )  <->  j  <_  ( I `  C ) ) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 24751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
2221simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
23 elfzelz 11051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2423peano2zd 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
2625zcnd 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
2726adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
28 elfzelz 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  ZZ )
2928zcnd 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  CC )
3029ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  CC )
3127, 30nncand 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )  =  j )
3231eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
) ) )
3322, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3433adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
35 elfznn 11072 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  j  e.  NN )
3635ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  NN )
3734, 36ltesubnnd 24154 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  <_  ( I `  C ) )
3837adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  j  <_  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  j
)  <_  ( I `  C ) )
39 vex 2951 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
4039a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  j  e.  _V )
41 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  e.  _V )
4317, 18, 19, 20, 32, 38, 40, 42ifeqeqx 23993 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  =  if (
j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )  ->  j  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )
44 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
) ) )
45 id 20 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  j  =  i )
46 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  ->  (
j  <_  ( I `  C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  i )  <_ 
( I `  C
) ) )
47 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
j  <_  ( I `  C )  <->  i  <_  ( I `  C ) ) )
48 elfzelz 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  ZZ )
4948zcnd 10368 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  CC )
5049ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  e.  CC )
5127, 50nncand 9408 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  i ) )  =  i )
5251eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
) ) )
5334adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  ZZ )
54 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
55 elfznn 11072 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  i  e.  NN )
5654, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
i  e.  NN )
5753, 56ltesubnnd 24154 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  i  <_  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  i
)  <_  ( I `  C ) )
58 vex 2951 . . . . . . 7  |-  i  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  i  e.  _V )
60 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  i )  e. 
_V
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  e.  _V )
6244, 45, 46, 47, 52, 57, 59, 61ifeqeqx 23993 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )  /\  j  =  if (
i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  ->  i  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6343, 62impbida 806 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) ) )  ->  (
i  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  <->  j  =  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
6410, 13, 16, 63f1o3d 24033 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) ) )
6564simpld 446 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
66 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  i )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
6720, 66, 18ifbieq12d 3753 . . . . 5  |-  ( i  =  j  ->  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i )  =  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6867cbvmptv 4292 . . . 4  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |->  if ( i  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
6968a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( i  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  i ) ,  i ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
7064simprd 450 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `' ( S `  C )  =  ( j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |->  if ( j  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) ) )
7169, 10, 703eqtr4rd 2478 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) )
7265, 71jca 519 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274   ...cfz 11035   #chash 11610
This theorem is referenced by:  ballotlemsima  24765  ballotlemscr  24768  ballotlemrv  24769  ballotlemro  24772  ballotlemfrc  24776  ballotlemrinv0  24782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-hash 11611
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