Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemsi Structured version   Unicode version

Theorem ballotlemsi 24772
Description: The image by  S of the first tie pick is the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsi  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) `  ( I `  C ) )  =  1 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsi
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . 5  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . 5  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . 5  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . 5  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . 5  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . 5  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . 5  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 24759 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
109simpld 446 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
11 ballotth.s . . . 4  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11ballotlemsv 24767 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  if ( ( I `  C )  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `  C
) ) ,  ( I `  C ) ) )
1310, 12mpdan 650 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) `  ( I `  C ) )  =  if ( ( I `
 C )  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  ( I `  C ) ) ,  ( I `  C
) ) )
14 elfzelz 11059 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1514zred 10375 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
1610, 15syl 16 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
1716leidd 9593 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( I `  C
) )
18 iftrue 3745 . . 3  |-  ( ( I `  C )  <_  ( I `  C )  ->  if ( ( I `  C )  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `  C
) ) ,  ( I `  C ) )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  ( I `  C ) ) )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  if ( ( I `  C )  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `  C
) ) ,  ( I `  C ) )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  ( I `  C ) ) )
2016recnd 9114 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
21 ax-1cn 9048 . . . 4  |-  1  e.  CC
2221a1i 11 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  CC )
2320, 22pncan2d 9413 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  ( I `
 C ) )  =  1 )
2413, 19, 233eqtrd 2472 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) `  ( I `  C ) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    i^i cin 3319   ifcif 3739   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   ...cfz 11043   #chash 11618
This theorem is referenced by:  ballotlemfrci  24785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator