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Theorem ballotlemsima 23090
Description: The image by  S of an interval before the first pick. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemsima  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    S( x, i, c)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, i, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemsima
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5041 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  C_  ran  ( S `  C
)
2 ballotth.m . . . . . . . . . 10  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . . . . 10  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . . . . 10  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
5 ballotth.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
6 ballotth.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
7 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
8 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
9 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
10 ballotth.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsf1o 23088 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  `' ( S `  C )  =  ( S `  C ) ) )
1211simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 f1of 5488 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N ) ) --> ( 1 ... ( M  +  N )
) )
14 frn 5411 . . . . . . . 8  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) --> ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  ran  ( S `  C
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ran  ( S `  C ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
161, 15syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )
17 fzssuz 10848 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
18 uzssz 10263 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
1917, 18sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ZZ
2016, 19syl6ss 3204 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( S `  C
) " ( 1 ... J ) ) 
C_  ZZ )
2120adantr 451 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  C_  ZZ )
2221sseld 3192 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  ->  k  e.  ZZ ) )
2322imp 418 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
24 elfzelz 10814 . . 3  |-  ( k  e.  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  ->  k  e.  ZZ )
2524adantl 452 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  ->  k  e.  ZZ )
26 f1ofn 5489 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  C ) : ( 1 ... ( M  +  N
) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
2712, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( S `  C )  Fn  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( S `  C )  Fn  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
292, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemiex 23076 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
3029simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
32 elfzuz3 10811 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
34 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
35 elfzuz3 10811 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)
3634, 35syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
37 uztrn 10260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C
) )  /\  (
I `  C )  e.  ( ZZ>= `  J )
)  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
3833, 36, 37syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  (
ZZ>= `  J ) )
39 fzss2 10847 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
4038, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... J )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
41 fvelimab 5594 . . . . 5  |-  ( ( ( S `  C
)  Fn  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( 1 ... J
)  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4228, 40, 41syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( S `  C ) " (
1 ... J ) )  <->  E. j  e.  (
1 ... J ) ( ( S `  C
) `  j )  =  k ) )
4342adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
44 1z 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
4544a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
462nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  e.  ZZ
473nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  e.  ZZ
4846, 47pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
49 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
5150a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
52 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
54 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  1  <_  J )
5554adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  <_  J
)
5653zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  RR )
57 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5830, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
6059zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  RR )
6151zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
62 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  (
I `  C )
)
64 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6530, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  <_  ( M  +  N )
)
6756, 60, 61, 63, 66letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  <_  ( M  +  N )
)
68 elfz2 10805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ( (
1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( M  +  N ) ) ) )
6968biimpri 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( M  +  N ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
7045, 51, 53, 55, 67, 69syl32anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
712, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsv 23084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
7270, 71syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  if ( J  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J
) )
73 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  <_  ( I `  C )  ->  if ( J  <_  ( I `
 C ) ,  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ,  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7434, 62, 733syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  if ( J  <_  ( I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ,  J )  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) )
7572, 74eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) )
7675oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  =  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) )
7776eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
)  <->  k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
7877adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
7959adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
8079zcnd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
81 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8281a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
8380, 82pncand 9174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 )  =  ( I `  C ) )
8483oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) )
8584eleq2d 2363 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... (
I `  C )
) ) )
8644a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
8753adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
8879peano2zd 10136 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  ZZ )
89 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
90 fzrev 10862 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  J
) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
9186, 87, 88, 89, 90syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  J ) ... ( ( ( I `  C )  +  1 )  - 
1 ) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
9278, 85, 913bitr2d 272 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J
) ) )
93 risset 2603 . . . . 5  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) )
9493a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  e.  ( 1 ... J )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k ) ) )
95 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ j ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )
96 eqcom 2298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  =  j  <->  j  =  ( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
) )
9758ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9897adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
9998zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
10081a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  1  e.  CC )
10199, 100addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( I `  C
)  +  1 )  e.  CC )
102 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
103102zcnd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  k  e.  CC )
104 elfzelz 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  e.  ZZ )
105104adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
106105zcnd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  CC )
107 subsub23 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( I `  C )  +  1 )  e.  CC  /\  k  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  k
)  =  j  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
10996, 108syl5bbr 250 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
110 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  ( O  \  E
) )
11140sseld 3192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( j  e.  ( 1 ... J
)  ->  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) ) )
112111imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemsv 23084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  j  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  j )  =  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
114110, 112, 113syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  if ( j  <_ 
( I `  C
) ,  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) ,  j ) )
115104adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  ZZ )
116115zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  e.  RR )
11752ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ZZ )  ->  J  e.  ZZ )
118104, 117sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  ZZ )
119118zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  e.  RR )
12097zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
I `  C )  e.  RR )
121 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... J )  ->  j  <_  J )
122121adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  J )
12362ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  J  <_  ( I `  C
) )
124116, 119, 120, 122, 123letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  j  <_  ( I `  C
) )
125 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  <_  ( I `  C )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  if ( j  <_  (
I `  C ) ,  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) ,  j )  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  j ) )
127114, 126eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( S `  C
) `  j )  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  j ) )
128127eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
129128adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( S `  C ) `  j
)  =  k  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  j )  =  k ) )
130109, 129bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( O  \  E
)  /\  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )  /\  k  e.  ZZ )  /\  j  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
j  =  ( ( ( I `  C
)  +  1 )  -  k )  <->  ( ( S `  C ) `  j )  =  k ) )
13195, 130rexbida 2571 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. j  e.  (
1 ... J ) j  =  ( ( ( I `  C )  +  1 )  -  k )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
13292, 94, 1313bitrd 270 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) )  <->  E. j  e.  ( 1 ... J
) ( ( S `
 C ) `  j )  =  k ) )
13343, 132bitr4d 247 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( S `  C )
" ( 1 ... J ) )  <->  k  e.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) )
13423, 25, 133eqrdav 2295 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) "
( 1 ... J
) )  =  ( ( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   ran crn 4706   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   #chash 11353
This theorem is referenced by:  ballotlemfrc  23101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-hash 11354
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