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Theorem basellem2 20319
Description: Lemma for basel 20327. Show that  P is a polynomial of degree  M, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
2 ssid 3197 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
32a1i 10 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  CC  C_  CC )
4 nnnn0 9972 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
5 elfznn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
6 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  j ) )
76oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  j ) ) )
8 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  j ) )
98oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )
107, 9oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
12 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  e.  _V
1310, 11, 12fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
145, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
1514adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
16 basel.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
17 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
1917, 18mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2019peano2nnd 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
2116, 20syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2221nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
23 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
24 nn0z 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
25 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
2623, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
27 bccl 11334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  e.  NN0 )
2822, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  CC )
30 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
31 zsubcl 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  -  n
)  e.  ZZ )
3230, 24, 31syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M  -  n
)  e.  ZZ )
33 neg1cn 9813 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
34 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
3634, 35negne0i 9121 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
37 expclz 11128 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  n
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3833, 36, 37mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  -  n )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3932, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  n )
)  e.  CC )
4029, 39mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) )  e.  CC )
4140, 11fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
42 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4341, 5, 42syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4415, 43eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  e.  CC )
453, 4, 44elplyd 19584 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
461, 45syl5eqel 2367 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
47 nnre 9753 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
48 nn0re 9974 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  RR )
49 ltnle 8902 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5047, 48, 49syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5113ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
5222ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  NN0 )
53 nn0z 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
5453ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  ZZ )
55 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )
5623, 54, 55sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  j )  e.  ZZ )
57342timesi 9845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
5857oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
59 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
6059a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  CC )
6334a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  1  e.  CC )
6460, 62, 63adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6516oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
6619ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
6766nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  CC )
6867, 63, 63addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
6965, 68syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
7058, 64, 693eqtr4a 2341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
71 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7230, 53, 71syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7372biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  <_  j
)
7447ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  RR )
75 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  e.  RR )
7748ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  RR )
78 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
79 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
8078, 79pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
82 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8376, 77, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8473, 83mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) )
8570, 84eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) )
8621nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
8786ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  ZZ )
88 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8987, 56, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
9085, 89mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  <  (
2  x.  j ) )
9190olcd 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  < 
( 2  x.  j
) ) )
92 bcval4 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  <  ( 2  x.  j ) ) )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9352, 56, 91, 92syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9493oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
95 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  -  j
)  e.  ZZ )
9630, 53, 95syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  -  j
)  e.  ZZ )
97 expclz 11128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  j
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9833, 36, 97mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  j )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9996, 98syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  j )
)  e.  CC )
10099adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
101100mul02d 9010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  0 )
10251, 94, 1013eqtrd 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 )
103102ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  =  0 ) )
10450, 103sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -.  j  <_  M  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
105104necon1ad 2513 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
106105ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
107 plyco0 19574 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
1084, 41, 107syl2anc 642 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
109106, 108mpbird 223 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
11014oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
111110sumeq2i 12172 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) )
112111mpteq2i 4103 . . . . 5  |-  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) ) )
1131, 112eqtr4i 2306 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) ) )
114113a1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) ) )
115 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
116115oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
117 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
118117oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
119116, 118oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
120 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
121119, 11, 120fvmpt 5602 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1224, 121syl 15 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
12361subidd 9145 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
124123oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
125 exp0 11108 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
12633, 125ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
127124, 126syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
128127oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
12919nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
130129lep1d 9688 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
131130, 16syl6breqr 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
13219nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN0 )
133 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
134132, 133syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
135 elfz5 10790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
136134, 86, 135syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
137131, 136mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
138 bccl2 11335 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
139137, 138syl 15 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
140139nncnd 9762 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
141140mulid1d 8852 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
142122, 128, 1413eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
143139nnne0d 9790 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
144142, 143eqnetrd 2464 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =/=  0 )
14546, 4, 41, 109, 114, 144dgreq 19626 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
14646, 4, 41, 109, 114coeeq 19609 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
14746, 145, 1463jca 1132 1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104    _C cbc 11315   sum_csu 12158  Polycply 19566  coeffccoe 19568  degcdgr 19569
This theorem is referenced by:  basellem4  20321  basellem5  20322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-0p 19025  df-ply 19570  df-coe 19572  df-dgr 19573
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