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Theorem basellem2 20864
Description: Lemma for basel 20872. Show that  P is a polynomial of degree  M, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
2 ssid 3367 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
32a1i 11 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  CC  C_  CC )
4 nnnn0 10228 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
5 elfznn0 11083 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
6 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  j ) )
76oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  j ) ) )
8 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  j ) )
98oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )
107, 9oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
11 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
12 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  e.  _V
1310, 11, 12fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
145, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
1514adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
16 basel.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
17 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 10023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
1917, 18mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2019peano2nnd 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
2116, 20syl5eqel 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2221nnnn0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
23 2z 10312 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
24 nn0z 10304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
25 zmulcl 10324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
2623, 24, 25sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
27 bccl 11613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  e.  NN0 )
2822, 26, 27syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10276 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  CC )
30 nnz 10303 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
31 zsubcl 10319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  -  n
)  e.  ZZ )
3230, 24, 31syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M  -  n
)  e.  ZZ )
33 neg1cn 10067 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
34 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 ax-1ne0 9059 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
3634, 35negne0i 9375 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
37 expclz 11406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  n
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3833, 36, 37mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  -  n )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3932, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  n )
)  e.  CC )
4029, 39mulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) )  e.  CC )
4140, 11fmptd 5893 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
42 ffvelrn 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4341, 5, 42syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4415, 43eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  e.  CC )
453, 4, 44elplyd 20121 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
461, 45syl5eqel 2520 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
47 nnre 10007 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
48 nn0re 10230 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  RR )
49 ltnle 9155 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5047, 48, 49syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5113ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
5222ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  NN0 )
53 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
5453ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  ZZ )
55 zmulcl 10324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )
5623, 54, 55sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  j )  e.  ZZ )
57342timesi 10101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
5857oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
59 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  CC )
6334a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  1  e.  CC )
6460, 62, 63adddid 9112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6516oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
6619ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
6766nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  CC )
6867, 63, 63addassd 9110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
6965, 68syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
7058, 64, 693eqtr4a 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
71 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7230, 53, 71syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7372biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  <_  j
)
7447ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  RR )
75 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  e.  RR )
7748ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  RR )
78 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
79 2pos 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
8078, 79pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
82 lemul2 9863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8376, 77, 81, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8473, 83mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) )
8570, 84eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) )
8621nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
8786ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  ZZ )
88 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8987, 56, 88syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
9085, 89mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  <  (
2  x.  j ) )
9190olcd 383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  < 
( 2  x.  j
) ) )
92 bcval4 11598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  <  ( 2  x.  j ) ) )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9352, 56, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9493oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
95 zsubcl 10319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  -  j
)  e.  ZZ )
9630, 53, 95syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  -  j
)  e.  ZZ )
97 expclz 11406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  j
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9833, 36, 97mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  j )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9996, 98syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  j )
)  e.  CC )
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
101100mul02d 9264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  0 )
10251, 94, 1013eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 )
103102ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  =  0 ) )
10450, 103sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -.  j  <_  M  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
105104necon1ad 2671 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
106105ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
107 plyco0 20111 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
1084, 41, 107syl2anc 643 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
109106, 108mpbird 224 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
11014oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
111110sumeq2i 12493 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) )
112111mpteq2i 4292 . . . . 5  |-  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) ) )
1131, 112eqtr4i 2459 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) ) )
114113a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) ) )
115 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
116115oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
117 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
118117oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
119116, 118oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
120 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
121119, 11, 120fvmpt 5806 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1224, 121syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
12361subidd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
124123oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
125 exp0 11386 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
12633, 125ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
127124, 126syl6eq 2484 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
128127oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
12919nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
130129lep1d 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
131130, 16syl6breqr 4252 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
13219nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN0 )
133 nn0uz 10520 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
134132, 133syl6eleq 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
135 elfz5 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
136134, 86, 135syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
137131, 136mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
138 bccl2 11614 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
139137, 138syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
140139nncnd 10016 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
141140mulid1d 9105 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
142122, 128, 1413eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
143139nnne0d 10044 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
144142, 143eqnetrd 2619 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =/=  0 )
14546, 4, 41, 109, 114, 144dgreq 20163 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
14646, 4, 41, 109, 114coeeq 20146 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
14746, 145, 1463jca 1134 1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   "cima 4881   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   ^cexp 11382    _C cbc 11593   sum_csu 12479  Polycply 20103  coeffccoe 20105  degcdgr 20106
This theorem is referenced by:  basellem4  20866  basellem5  20867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-0p 19562  df-ply 20107  df-coe 20109  df-dgr 20110
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