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Theorem basellem2 20335
Description: Lemma for basel 20343. Show that  P is a polynomial of degree  M, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
2 ssid 3210 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
32a1i 10 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  CC  C_  CC )
4 nnnn0 9988 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
5 elfznn0 10838 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
6 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  j ) )
76oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  j ) ) )
8 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  j ) )
98oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )
107, 9oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
12 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  e.  _V
1310, 11, 12fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
145, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
1514adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
16 basel.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
17 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
1917, 18mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2019peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
2116, 20syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2221nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
23 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
24 nn0z 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
25 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
2623, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
27 bccl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  e.  NN0 )
2822, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( N  _C  (
2  x.  n ) )  e.  CC )
30 nnz 10061 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
31 zsubcl 10077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  -  n
)  e.  ZZ )
3230, 24, 31syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( M  -  n
)  e.  ZZ )
33 neg1cn 9829 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
34 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
3634, 35negne0i 9137 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
37 expclz 11144 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  n
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3833, 36, 37mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  -  n )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  e.  CC )
3932, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  n )
)  e.  CC )
4029, 39mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) )  e.  CC )
4140, 11fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
42 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC 
/\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4341, 5, 42syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  e.  CC )
4415, 43eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  ( 0 ... M ) )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  e.  CC )
453, 4, 44elplyd 19600 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
461, 45syl5eqel 2380 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
47 nnre 9769 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
48 nn0re 9990 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  RR )
49 ltnle 8918 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  j  e.  RR )  ->  ( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5047, 48, 49syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  -.  j  <_  M )
)
5113ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) ) )
5222ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  NN0 )
53 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
5453ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  ZZ )
55 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )
5623, 54, 55sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  j )  e.  ZZ )
57342timesi 9861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
5857oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
59 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
6059a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  2  e.  CC )
61 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
6261ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  CC )
6334a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  1  e.  CC )
6460, 62, 63adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 2  x.  1 ) ) )
6516oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
6619ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
6766nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  M )  e.  CC )
6867, 63, 63addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
6965, 68syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  =  ( ( 2  x.  M
)  +  ( 1  +  1 ) ) )
7058, 64, 693eqtr4a 2354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
71 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7230, 53, 71syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  <->  ( M  +  1 )  <_  j ) )
7372biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  <_  j
)
7447ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  M  e.  RR )
75 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( M  + 
1 )  e.  RR )
7748ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  j  e.  RR )
78 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
79 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
8078, 79pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
82 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  RR  /\  j  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8376, 77, 81, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( M  +  1 )  <_ 
j  <->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8473, 83mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 2  x.  ( M  +  1 ) )  <_  (
2  x.  j ) )
8570, 84eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) )
8621nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
8786ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  e.  ZZ )
88 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
8987, 56, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  < 
( 2  x.  j
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
2  x.  j ) ) )
9085, 89mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  N  <  (
2  x.  j ) )
9190olcd 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  < 
( 2  x.  j
) ) )
92 bcval4 11336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  j
)  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  j )  <  0  \/  N  <  ( 2  x.  j ) ) )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9352, 56, 91, 92syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  =  0 )
9493oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) ) )
95 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( M  -  j
)  e.  ZZ )
9630, 53, 95syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  -  j
)  e.  ZZ )
97 expclz 11144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0  /\  ( M  -  j
)  e.  ZZ )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9833, 36, 97mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  j )  e.  ZZ  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
9996, 98syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -u 1 ^ ( M  -  j )
)  e.  CC )
10099adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) )  e.  CC )
101100mul02d 9026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( 0  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  =  0 )
10251, 94, 1013eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  /\  M  <  j )  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 )
103102ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  <  j  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  =  0 ) )
10450, 103sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( -.  j  <_  M  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =  0 ) )
105104necon1ad 2526 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
106105ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) )
107 plyco0 19590 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) : NN0 --> CC )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
1084, 41, 107syl2anc 642 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) )
" ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. j  e.  NN0  ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  =/=  0  ->  j  <_  M ) ) )
109106, 108mpbird 223 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) " ( ZZ>=
`  ( M  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
11014oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  (
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
111110sumeq2i 12188 . . . . . 6  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) )
112111mpteq2i 4119 . . . . 5  |-  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) )  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( t ^ j
) ) )
1131, 112eqtr4i 2319 . . . 4  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n
) ) ) ) `
 j )  x.  ( t ^ j
) ) )
114113a1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  j )  x.  ( t ^
j ) ) ) )
115 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
116115oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
117 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
118117oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
119116, 118oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
120 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
121119, 11, 120fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1224, 121syl 15 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
12361subidd 9161 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
124123oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
125 exp0 11124 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
12633, 125ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
127124, 126syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
128127oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
12919nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
130129lep1d 9704 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
131130, 16syl6breqr 4079 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
13219nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN0 )
133 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
134132, 133syl6eleq 2386 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
135 elfz5 10806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
136134, 86, 135syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
137131, 136mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
138 bccl2 11351 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
139137, 138syl 15 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
140139nncnd 9778 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
141140mulid1d 8868 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
142122, 128, 1413eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
143139nnne0d 9806 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
144142, 143eqnetrd 2477 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =/=  0 )
14546, 4, 41, 109, 114, 144dgreq 19642 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
14646, 4, 41, 109, 114coeeq 19625 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
14746, 145, 1463jca 1132 1  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120    _C cbc 11331   sum_csu 12174  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  basellem4  20337  basellem5  20338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-0p 19041  df-ply 19586  df-coe 19588  df-dgr 19589
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