Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Unicode version

Theorem basellem4 20337
 Description: Lemma for basel 20343. By basellem3 20336, the expression goes to zero whenever for some , so this function enumerates distinct roots of a degree- polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 19704. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n
basel.p
basel.t
Assertion
Ref Expression
basellem4
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9
21basellem1 20334 . . . . . . . 8
3 tanrpcl 19888 . . . . . . . 8
42, 3syl 15 . . . . . . 7
5 2z 10070 . . . . . . . 8
6 znegcl 10071 . . . . . . . 8
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7
8 rpexpcl 11138 . . . . . . 7
94, 7, 8sylancl 643 . . . . . 6
109rpcnd 10408 . . . . 5
11 basel.p . . . . . . . 8
121, 11basellem3 20336 . . . . . . 7
132, 12syldan 456 . . . . . 6
14 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . 14
1514adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
1615zred 10133 . . . . . . . . . . . 12
17 pire 19848 . . . . . . . . . . . 12
18 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . 12
1916, 17, 18sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
2019recnd 8877 . . . . . . . . . 10
21 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14
2423peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . 13
251, 24syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . 12
2625adantr 451 . . . . . . . . . . 11
2726nncnd 9778 . . . . . . . . . 10
2826nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10
2920, 27, 28divcan2d 9554 . . . . . . . . 9
3029fveq2d 5545 . . . . . . . 8
31 sinkpi 19903 . . . . . . . . 9
3215, 31syl 15 . . . . . . . 8
3330, 32eqtrd 2328 . . . . . . 7
3433oveq1d 5889 . . . . . 6
3519, 26nndivred 9810 . . . . . . . . . 10
3635resincld 12439 . . . . . . . . 9
3736recnd 8877 . . . . . . . 8
3826nnnn0d 10034 . . . . . . . 8
3937, 38expcld 11261 . . . . . . 7
40 sincosq1sgn 19882 . . . . . . . . . . 11
412, 40syl 15 . . . . . . . . . 10
4241simpld 445 . . . . . . . . 9
4342gt0ne0d 9353 . . . . . . . 8
4426nnzd 10132 . . . . . . . 8
4537, 43, 44expne0d 11267 . . . . . . 7
4639, 45div0d 9551 . . . . . 6
4713, 34, 463eqtrd 2332 . . . . 5
481, 11basellem2 20335 . . . . . . . . 9 Poly deg coeff
4948simp1d 967 . . . . . . . 8 Poly
50 plyf 19596 . . . . . . . 8 Poly
51 ffn 5405 . . . . . . . 8
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7
5352adantr 451 . . . . . 6
54 fniniseg 5662 . . . . . 6
5553, 54syl 15 . . . . 5
5610, 47, 55mpbir2and 888 . . . 4
57 basel.t . . . 4
5856, 57fmptd 5700 . . 3
59 fveq2 5541 . . . . . 6
60 fveq2 5541 . . . . . 6
61 fveq2 5541 . . . . . 6
6214zred 10133 . . . . . . 7
6362ssriv 3197 . . . . . 6
649rpred 10406 . . . . . . . 8
6564, 57fmptd 5700 . . . . . . 7
66 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
6765, 66sylan 457 . . . . . 6
68 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
6963sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15
7163sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
7317a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 pipos 19849 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ltmul1 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15
7770, 72, 73, 75, 76syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14
7868, 77mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
79 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15
8070, 17, 79sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14
81 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15
8272, 17, 81sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14
8325ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . 14
8583nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . 14
86 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . . . . . 14
8780, 82, 84, 85, 86syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13
8878, 87mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12
89 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 rehalfcl 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9117, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291renegcli 9124 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9389, 92sselii 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15
9417, 74elrpii 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 rphalfcl 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 rpge0 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9794, 95, 96mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 le0neg2 9299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9991, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10097, 99mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 iooss1 10707 . . . . . . . . . . . . . . 15
10293, 100, 101mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14
1031basellem1 20334 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14
105102, 104sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
1061basellem1 20334 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . . . 14
108102, 107sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
109 tanord 19916 . . . . . . . . . . . . 13
110105, 108, 109syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
11188, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
112 tanrpcl 19888 . . . . . . . . . . . . 13
113104, 112syl 15 . . . . . . . . . . . 12
114 tanrpcl 19888 . . . . . . . . . . . . 13
115107, 114syl 15 . . . . . . . . . . . 12
116 rprege0 10384 . . . . . . . . . . . . 13
117 rprege0 10384 . . . . . . . . . . . . 13
118 lt2sq 11193 . . . . . . . . . . . . 13
119116, 117, 118syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12
120113, 115, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
121111, 120mpbid 201 . . . . . . . . . 10
122 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . 12
123113, 5, 122sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
124 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . 12
125115, 5, 124sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
126123, 125ltrecd 10424 . . . . . . . . . 10
127121, 126mpbid 201 . . . . . . . . 9
128 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
129128oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
130129fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
131130oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
132 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12
133131, 57, 132fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
134133ad2antll 709 . . . . . . . . . 10
135115rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11
136 2nn0 9998 . . . . . . . . . . 11
137 expneg 11127 . . . . . . . . . . 11
138135, 136, 137sylancl 643 . . . . . . . . . 10
139134, 138eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
140 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
141140oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
142141fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13
143142oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
144 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12
145143, 57, 144fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
146145ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10
147113rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11
148 expneg 11127 . . . . . . . . . . 11
149147, 136, 148sylancl 643 . . . . . . . . . 10
150146, 149eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
151127, 139, 1503brtr4d 4069 . . . . . . . 8
152151an32s 779 . . . . . . 7
153152ex 423 . . . . . 6
15459, 60, 61, 63, 67, 153eqord2 9320 . . . . 5
155154biimprd 214 . . . 4
156155ralrimivva 2648 . . 3
157 dff13 5799 . . 3
15858, 156, 157sylanbrc 645 . 2
15948simp2d 968 . . . . . . . . 9 deg
160 nnne0 9794 . . . . . . . . 9
161159, 160eqnetrd 2477 . . . . . . . 8 deg
162 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10 deg deg
163 dgr0 19659 . . . . . . . . . 10 deg
164162, 163syl6eq 2344 . . . . . . . . 9 deg
165164necon3i 2498 . . . . . . . 8 deg
166161, 165syl 15 . . . . . . 7
167 eqid 2296 . . . . . . . 8
168167fta1 19704 . . . . . . 7 Poly deg
16949, 166, 168syl2anc 642 . . . . . 6 deg
170169simpld 445 . . . . 5
171 f1domg 6897 . . . . 5
172170, 158, 171sylc 56 . . . 4
173169simprd 449 . . . . . 6 deg
174 nnnn0 9988 . . . . . . . 8
175 hashfz1 11361 . . . . . . . 8
176174, 175syl 15 . . . . . . 7
177159, 176eqtr4d 2331 . . . . . 6 deg
178173, 177breqtrd 4063 . . . . 5
179 fzfid 11051 . . . . . 6
180 hashdom 11377 . . . . . 6
181170, 179, 180syl2anc 642 . . . . 5
182178, 181mpbid 201 . . . 4
183 sbth 6997 . . . 4
184172, 182, 183syl2anc 642 . . 3
185 f1finf1o 7102 . . 3
186184, 170, 185syl2anc 642 . 2
187158, 186mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704  cima 4708   wfn 5266  wf 5267  wf1 5268  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cen 6876   cdom 6877  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  crp 10370  cioo 10672  cfz 10798  cexp 11120   cbc 11331  chash 11353  csu 12174  csin 12361  ccos 12362  ctan 12363  cpi 12364  c0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585 This theorem is referenced by:  basellem5  20338 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687
 Copyright terms: Public domain W3C validator