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Theorem basellem4 20733
Description: Lemma for basel 20739. By basellem3 20732, the expression  P ( ( cot x ) ^
2 )  =  sin ( N x )  / 
( sin x ) ^ N goes to zero whenever  x  =  n pi  /  N for some  n  e.  ( 1 ... M
), so this function enumerates  M distinct roots of a degree-  M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 20092. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem4  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables  k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
21basellem1 20730 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
3 tanrpcl 20279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
5 2z 10244 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6 znegcl 10245 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
8 rpexpcl 11327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  RR+ )
94, 7, 8sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR+ )
109rpcnd 10582 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
11 basel.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
121, 11basellem3 20732 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( ( n  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
132, 12syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
14 elfzelz 10991 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  ZZ )
1514adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ZZ )
1615zred 10307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  RR )
17 pire 20239 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
18 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( n  x.  pi )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  RR )
2019recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  CC )
21 2nn 10065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
22 nnmulcl 9955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
2321, 22mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2423peano2nnd 9949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
251, 24syl5eqel 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2726nncnd 9948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  CC )
2826nnne0d 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  =/=  0
)
2920, 27, 28divcan2d 9724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  =  ( n  x.  pi ) )
3029fveq2d 5672 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  ( sin `  ( n  x.  pi ) ) )
31 sinkpi 20294 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
3215, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  0 )
3433oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) ) )
3519, 26nndivred 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
3635resincld 12671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
3736recnd 9047 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
3826nnnn0d 10206 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN0 )
3937, 38expcld 11450 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  e.  CC )
40 sincosq1sgn 20273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
412, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
4241simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )
4342gt0ne0d 9523 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
4426nnzd 10306 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  ZZ )
4537, 43, 44expne0d 11456 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  =/=  0 )
4639, 45div0d 9721 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  0 )
4713, 34, 463eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 )
481, 11basellem2 20731 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
4948simp1d 969 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
50 plyf 19984 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
51 ffn 5531 . . . . . . . 8  |-  ( P : CC --> CC  ->  P  Fn  CC )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  Fn  CC )
5352adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  P  Fn  CC )
54 fniniseg 5790 . . . . . 6  |-  ( P  Fn  CC  ->  (
( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5610, 47, 55mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  ( `' P " { 0 } ) )
57 basel.t . . . 4  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
5856, 57fmptd 5832 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( T `  k )  =  ( T `  m ) )
60 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( T `  k )  =  ( T `  x ) )
61 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( k  =  y  ->  ( T `  k )  =  ( T `  y ) )
6214zred 10307 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  RR )
6362ssriv 3295 . . . . . 6  |-  ( 1 ... M )  C_  RR
649rpred 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 57fmptd 5832 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> RR )
6665ffvelrnda 5809 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  e.  RR )
67 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  <  m )
6863sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  RR )
6968ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  e.  RR )
7063sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  m  e.  RR )
7170ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  m  e.  RR )
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  pi  e.  RR )
73 pipos 20240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  pi
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  pi )
75 ltmul1 9792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( k  < 
m  <->  ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi ) ) )
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  <  m  <->  ( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) ) )
7767, 76mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) )
78 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
7969, 17, 78sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
80 remulcl 9008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8171, 17, 80sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8225ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  NN )
8382nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  RR )
8482nngt0d 9975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  N )
85 ltdiv1 9806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  e.  RR  /\  (
m  x.  pi )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8777, 86mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) )
88 halfpire 20242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
8988renegcli 9294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
9089rexri 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
9117, 73elrpii 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR+
92 rphalfcl 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
93 rpge0 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
9491, 92, 93mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
95 le0neg2 9469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 ) )
9688, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 )
9794, 96mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
98 iooss1 10883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
9990, 97, 98mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
1001basellem1 20730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
101100ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10299, 101sseldi 3289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
1031basellem1 20730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
104103ad2ant2rl 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10599, 104sseldi 3289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
106 tanord 20307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
107102, 105, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  (
( m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
10887, 107mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
109 tanrpcl 20279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
110101, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
111 tanrpcl 20279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
112104, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
113 rprege0 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
114 rprege0 10558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
115 lt2sq 11382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )  /\  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
116113, 114, 115syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
117110, 112, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
118108, 117mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
119 rpexpcl 11327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
120110, 5, 119sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
121 rpexpcl 11327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
122112, 5, 121sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
123120, 122ltrecd 10598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  <  (
1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
124118, 123mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( 1  /  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
125 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  pi )  =  ( m  x.  pi ) )
126125oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )
127126fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
128127oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
129 ovex 6045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
130128, 57, 129fvmpt 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  m )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
131130ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
132112rpcnd 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
133 2nn0 10170 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
134 expneg 11316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
135132, 133, 134sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
136131, 135eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
137 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
138137oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
139138fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
140139oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
141 ovex 6045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
142140, 57, 141fvmpt 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
143142ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
144110rpcnd 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
145 expneg 11316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
146144, 133, 145sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
147143, 146eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
148124, 136, 1473brtr4d 4183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  <  ( T `  k ) )
149148an32s 780 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  /\  k  <  m )  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k
) )
150149ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k ) ) )
15159, 60, 61, 63, 66, 150eqord2 9490 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
152151biimprd 215 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
153152ralrimivva 2741 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... M
) A. y  e.  ( 1 ... M
) ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
154 dff13 5943 . . 3  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... M ) A. y  e.  ( 1 ... M ) ( ( T `  x
)  =  ( T `
 y )  ->  x  =  y )
) )
15558, 153, 154sylanbrc 646 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
15648simp2d 970 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
157 nnne0 9964 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
158156, 157eqnetrd 2568 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
159 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0 p
) )
160 dgr0 20047 . . . . . . . . . 10  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
161159, 160syl6eq 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
162161necon3i 2589 . . . . . . . 8  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0 p )
163158, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0 p )
164 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
165164fta1 20092 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0 p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
16649, 163, 165syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
167166simpld 446 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
168 f1domg 7063 . . . . 5  |-  ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  ->  ( T : ( 1 ... M )
-1-1-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) ) )
169167, 155, 168sylc 58 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) )
170166simprd 450 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) )
171 nnnn0 10160 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
172 hashfz1 11557 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
173171, 172syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
174156, 173eqtr4d 2422 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  (
# `  ( 1 ... M ) ) )
175170, 174breqtrd 4177 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  ( # `  (
1 ... M ) ) )
176 fzfid 11239 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
177 hashdom 11580 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  (
1 ... M )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
178167, 176, 177syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
179175, 178mpbid 202 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M ) )
180 sbth 7163 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~<_  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) )  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
181169, 179, 180syl2anc 643 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
182 f1finf1o 7271 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~~  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( T :
( 1 ... M
) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <-> 
T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183181, 167, 182syl2anc 643 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  T :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
184155, 183mpbid 202 1  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649    C_ wss 3263   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   "cima 4821    Fn wfn 5389   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928   RR*cxr 9052    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   -ucneg 9224    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   RR+crp 10544   (,)cioo 10848   ...cfz 10975   ^cexp 11309    _C cbc 11520   #chash 11545   sum_csu 12406   sincsin 12593   cosccos 12594   tanctan 12595   picpi 12596   0 pc0p 19428  Polycply 19970  coeffccoe 19972  degcdgr 19973
This theorem is referenced by:  basellem5  20734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-tan 12601  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-0p 19429  df-limc 19620  df-dv 19621  df-ply 19974  df-idp 19975  df-coe 19976  df-dgr 19977  df-quot 20075
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