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Theorem basellem4 20871
Description: Lemma for basel 20877. By basellem3 20870, the expression  P ( ( cot x ) ^
2 )  =  sin ( N x )  / 
( sin x ) ^ N goes to zero whenever  x  =  n pi  /  N for some  n  e.  ( 1 ... M
), so this function enumerates  M distinct roots of a degree-  M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 20230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem4  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Distinct variable groups:    t, j, n, M    j, N, n, t    P, n
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables  k  m  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
21basellem1 20868 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
3 tanrpcl 20417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
5 2z 10317 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
6 znegcl 10318 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
8 rpexpcl 11405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  RR+ )
94, 7, 8sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR+ )
109rpcnd 10655 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
11 basel.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
121, 11basellem3 20870 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( ( n  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
132, 12syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( sin `  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
) ) )
14 elfzelz 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  ZZ )
1514adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ZZ )
1615zred 10380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  RR )
17 pire 20377 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
18 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( n  x.  pi )  e.  RR )
1916, 17, 18sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  RR )
2019recnd 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  x.  pi )  e.  CC )
21 2nn 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
22 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
2321, 22mpan 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
2423peano2nnd 10022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
251, 24syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
2625adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2726nncnd 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  CC )
2826nnne0d 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  =/=  0
)
2920, 27, 28divcan2d 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  x.  ( ( n  x.  pi )  /  N
) )  =  ( n  x.  pi ) )
3029fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  ( sin `  ( n  x.  pi ) ) )
31 sinkpi 20432 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( sin `  ( n  x.  pi ) )  =  0 )
3215, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
n  x.  pi ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  ( N  x.  ( (
n  x.  pi )  /  N ) ) )  =  0 )
3433oveq1d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( N  x.  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) )  /  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) ) )
3519, 26nndivred 10053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
3635resincld 12749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
3736recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
3826nnnn0d 10279 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN0 )
3937, 38expcld 11528 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  e.  CC )
40 sincosq1sgn 20411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
412, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ) )
4241simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) )
4342gt0ne0d 9596 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
4426nnzd 10379 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  ZZ )
4537, 43, 44expne0d 11534 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ N
)  =/=  0 )
4639, 45div0d 9794 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  / 
( ( sin `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ N ) )  =  0 )
4713, 34, 463eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( P `  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 )
481, 11basellem2 20869 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
4948simp1d 970 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
50 plyf 20122 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
51 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( P : CC --> CC  ->  P  Fn  CC )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  Fn  CC )
5352adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  P  Fn  CC )
54 fniniseg 5854 . . . . . 6  |-  ( P  Fn  CC  ->  (
( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  ( `' P " { 0 } )  <-> 
( ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( P `  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  0 ) ) )
5610, 47, 55mpbir2and 890 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  ( `' P " { 0 } ) )
57 basel.t . . . 4  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
5856, 57fmptd 5896 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( T `  k )  =  ( T `  m ) )
60 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( T `  k )  =  ( T `  x ) )
61 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( k  =  y  ->  ( T `  k )  =  ( T `  y ) )
6214zred 10380 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  ->  n  e.  RR )
6362ssriv 3354 . . . . . 6  |-  ( 1 ... M )  C_  RR
649rpred 10653 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 57fmptd 5896 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) --> RR )
6665ffvelrnda 5873 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  e.  RR )
67 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  <  m )
6863sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  RR )
6968ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
k  e.  RR )
7063sseli 3346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  m  e.  RR )
7170ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  m  e.  RR )
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  pi  e.  RR )
73 pipos 20378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  pi
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  pi )
75 ltmul1 9865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  m  e.  RR  /\  (
pi  e.  RR  /\  0  <  pi ) )  ->  ( k  < 
m  <->  ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi ) ) )
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  <  m  <->  ( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) ) )
7767, 76mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  <  ( m  x.  pi ) )
78 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
7969, 17, 78sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( k  x.  pi )  e.  RR )
80 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8171, 17, 80sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( m  x.  pi )  e.  RR )
8225ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  NN )
8382nnred 10020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  ->  N  e.  RR )
8482nngt0d 10048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
0  <  N )
85 ltdiv1 9879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  e.  RR  /\  (
m  x.  pi )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  <  (
m  x.  pi )  <-> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) ) )
8777, 86mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N ) )
88 halfpire 20380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
8988renegcli 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
9089rexri 9142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
9117, 73elrpii 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  pi  e.  RR+
92 rphalfcl 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
93 rpge0 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( pi  /  2
) )
9491, 92, 93mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  ( pi  /  2
)
95 le0neg2 9542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 ) )
9688, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
0 )
9794, 96mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  0
98 iooss1 10956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  -u ( pi  /  2
)  <_  0 )  ->  ( 0 (,) ( pi  /  2
) )  C_  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
9990, 97, 98mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  C_  ( -u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )
1001basellem1 20868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
101100ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10299, 101sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
1031basellem1 20868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
104103ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) ) )
10599, 104sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( m  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
106 tanord 20445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  /\  ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) ) )  ->  (
( ( k  x.  pi )  /  N
)  <  ( (
m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
107102, 105, 106syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  (
( m  x.  pi )  /  N )  <->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
10887, 107mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
109 tanrpcl 20417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
110101, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
111 tanrpcl 20417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
112104, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
113 rprege0 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
114 rprege0 10631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  ->  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )
115 lt2sq 11460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )  /\  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ) )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
116113, 114, 115syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
117110, 112, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
118108, 117mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  < 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
119 rpexpcl 11405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
120110, 5, 119sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
121 rpexpcl 11405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
122112, 5, 121sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
123120, 122ltrecd 10671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  <  (
1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
124118, 123mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( 1  /  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
125 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  pi )  =  ( m  x.  pi ) )
126125oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( m  x.  pi )  /  N
) )
127126fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) )
128127oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
129 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
130128, 57, 129fvmpt 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  m )  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
131130ad2antll 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
132112rpcnd 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
133 2nn0 10243 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
134 expneg 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
135132, 133, 134sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( m  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
136131, 135eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( m  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
137 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
138137oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
139138fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
140139oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
141 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
142140, 57, 141fvmpt 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
143142ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
144110rpcnd 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
145 expneg 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
146144, 133, 145sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
147143, 146eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  k
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
148124, 136, 1473brtr4d 4245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  k  <  m )  /\  ( k  e.  ( 1 ... M
)  /\  m  e.  ( 1 ... M
) ) )  -> 
( T `  m
)  <  ( T `  k ) )
149148an32s 781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  /\  k  <  m )  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k
) )
150149ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( k  e.  ( 1 ... M )  /\  m  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  (
k  <  m  ->  ( T `  m )  <  ( T `  k ) ) )
15159, 60, 61, 63, 66, 150eqord2 9563 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( x  =  y  <->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) ) )
152151biimprd 216 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( x  e.  (
1 ... M )  /\  y  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( T `  x )  =  ( T `  y )  ->  x  =  y ) )
153152ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  A. x  e.  ( 1 ... M
) A. y  e.  ( 1 ... M
) ( ( T `
 x )  =  ( T `  y
)  ->  x  =  y ) )
154 dff13 6007 . . 3  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } )  /\  A. x  e.  ( 1 ... M ) A. y  e.  ( 1 ... M ) ( ( T `  x
)  =  ( T `
 y )  ->  x  =  y )
) )
15558, 153, 154sylanbrc 647 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
15648simp2d 971 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
157 nnne0 10037 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
158156, 157eqnetrd 2621 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
159 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0 p
) )
160 dgr0 20185 . . . . . . . . . 10  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
161159, 160syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
162161necon3i 2645 . . . . . . . 8  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0 p )
163158, 162syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0 p )
164 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
165164fta1 20230 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0 p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
16649, 163, 165syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
167166simpld 447 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
168 f1domg 7130 . . . . 5  |-  ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  ->  ( T : ( 1 ... M )
-1-1-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) ) )
169167, 155, 168sylc 59 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~<_  ( `' P " { 0 } ) )
170166simprd 451 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) )
171 nnnn0 10233 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
172 hashfz1 11635 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
173171, 172syl 16 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
174156, 173eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  (
# `  ( 1 ... M ) ) )
175170, 174breqtrd 4239 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  ( # `  (
1 ... M ) ) )
176 fzfid 11317 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
177 hashdom 11658 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  (
1 ... M )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
178167, 176, 177syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <_ 
( # `  ( 1 ... M ) )  <-> 
( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) ) )
179175, 178mpbid 203 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M ) )
180 sbth 7230 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~<_  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  ~<_  ( 1 ... M
) )  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
181169, 179, 180syl2anc 644 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
182 f1finf1o 7338 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... M
)  ~~  ( `' P " { 0 } )  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( T :
( 1 ... M
) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <-> 
T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183181, 167, 182syl2anc 644 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } )  <->  T :
( 1 ... M
)
-1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
184155, 183mpbid 203 1  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   `'ccnv 4880   "cima 4884    Fn wfn 5452   -->wf 5453   -1-1->wf1 5454   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109    ~<_ cdom 7110   Fincfn 7112   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   -ucneg 9297    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   RR+crp 10617   (,)cioo 10921   ...cfz 11048   ^cexp 11387    _C cbc 11598   #chash 11623   sum_csu 12484   sincsin 12671   cosccos 12672   tanctan 12673   picpi 12674   0 pc0p 19564  Polycply 20108  coeffccoe 20110  degcdgr 20111
This theorem is referenced by:  basellem5  20872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-tan 12679  df-pi 12680  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-0p 19565  df-limc 19758  df-dv 19759  df-ply 20112  df-idp 20113  df-coe 20114  df-dgr 20115  df-quot 20213
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