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Theorem basellem5 20734
Description: Lemma for basel 20739. Using vieta1 20096, we can calculate the sum of the roots of  P as the quotient of the top two coefficients, and since the function  T enumerates the roots, we are left with an equation that sums the  cot ^ 2 function at the  M different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem5  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Distinct variable groups:    j, k,
t, n, M    j, N, k, n, t    P, k, n    T, k
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2387 . . 3  |-  (coeff `  P )  =  (coeff `  P )
2 eqid 2387 . . 3  |-  (deg `  P )  =  (deg
`  P )
3 eqid 2387 . . 3  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
4 basel.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
5 basel.p . . . . 5  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
64, 5basellem2 20731 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
76simp1d 969 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
86simp2d 970 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
9 nnnn0 10160 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
10 hashfz1 11557 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
12 basel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
134, 5, 12basellem4 20733 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
14 ovex 6045 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1514f1oen 7064 . . . . . 6  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
17 fzfid 11239 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
18 nnne0 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
198, 18eqnetrd 2568 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
20 fveq2 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0 p
) )
21 dgr0 20047 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
2220, 21syl6eq 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
2322necon3i 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0 p )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0 p )
253fta1 20092 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0 p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
267, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
2726simpld 446 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
28 hashen 11558 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  =  (
# `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
2917, 27, 28syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
3016, 29mpbird 224 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) ) )
318, 11, 303eqtr2rd 2426 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  =  (deg `  P ) )
32 id 20 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
338, 32eqeltrd 2461 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  e.  NN )
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 20096 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) ) )
35 id 20 . . 3  |-  ( x  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  ->  x  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
36 oveq1 6027 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
3736oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
3837fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
3938oveq1d 6035 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
40 ovex 6045 . . . . 5  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
4139, 12, 40fvmpt 5745 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
4241adantl 453 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
43 cnvimass 5164 . . . . 5  |-  ( `' P " { 0 } )  C_  dom  P
44 plyf 19984 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
45 fdm 5535 . . . . . 6  |-  ( P : CC --> CC  ->  dom 
P  =  CC )
467, 44, 453syl 19 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  dom  P  =  CC )
4743, 46syl5sseq 3339 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  C_  CC )
4847sselda 3291 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  x  e.  ( `' P " { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 12444 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
506simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
518oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(deg `  P )  -  1 )  =  ( M  -  1 ) )
5250, 51fveq12d 5674 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) ) )
53 nnm1nn0 10193 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
54 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
5554oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
56 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  ( M  -  1
) ) )
5756oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )
5855, 57oveq12d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
59 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
60 ovex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )  e.  _V
6158, 59, 60fvmpt 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1 ) ) ) ) )
6253, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
63 nncn 9940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
64 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65 nncan 9262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6663, 64, 65sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6766oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
68 neg1cn 9999 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
69 exp1 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
7167, 70syl6eq 2435 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  -u 1 )
7271oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  -u 1 ) )
73 2nn 10065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
74 nnmulcl 9955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7573, 74mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
7675peano2nnd 9949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
774, 76syl5eqel 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
7877nnnn0d 10206 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
79 2z 10244 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
80 nnz 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
81 peano2zm 10252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
83 zmulcl 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
8479, 82, 83sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 bccl 11540 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
8678, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
8786nn0cnd 10208 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
88 mulcom 9009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
8987, 68, 88sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9087mulm1d 9417 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9172, 89, 903eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9252, 62, 913eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9387negcld 9330 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
9492, 93eqeltrd 2461 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  e.  CC )
9550, 8fveq12d 5674 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M ) )
96 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9796oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
98 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
9998oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
10097, 99oveq12d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
101 ovex 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
102100, 59, 101fvmpt 5745 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1039, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
10463subidd 9331 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
105104oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
106 exp0 11313 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
10768, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
108105, 107syl6eq 2435 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
109108oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
110 1nn0 10169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
111 nn0uz 10452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
112110, 111eleqtri 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
113 fzss1 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
11575nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
116115lep1d 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
117116, 4syl6breqr 4193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
118 nnuz 10453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11975, 118syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
12077nnzd 10306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
121 elfz5 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
123117, 122mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 1 ... N ) )
124114, 123sseldi 3289 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
125 bccl2 11541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
127126nncnd 9948 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
128127mulid1d 9038 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
129109, 128eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
13095, 103, 1293eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
131130, 127eqeltrd 2461 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  e.  CC )
132126nnne0d 9976 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
133130, 132eqnetrd 2568 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =/=  0 )
13494, 131, 133divnegd 9735 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  (
-u ( (coeff `  P ) `  (
(deg `  P )  -  1 ) )  /  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) ) ) )
13592negeqd 9232 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
13687negnegd 9334 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
137135, 136eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
138137, 130oveq12d 6038 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u ( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) ) )
139 bcm1k 11533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
140123, 139syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
14175nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
14264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
143141, 142, 142pnncand 9382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1444oveq1i 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )
145 df-2 9990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
146143, 144, 1453eqtr4g 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  =  2 )
147 2nn0 10170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
148146, 147syl6eqel 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 )
149 nnm1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
15075, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
151 nn0sub 10202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
152150, 78, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e. 
NN0 ) )
153148, 152mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  <_  N )
154632timesd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =  ( M  +  M ) )
155154oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  +  M )  - 
1 ) )
15663, 63, 142addsubd 9364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  +  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
157155, 156eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
158 nn0nnaddcl 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  M
)  e.  NN )
15953, 158mpancom 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  M )  e.  NN )
160157, 159eqeltrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN )
161160, 118syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
162 elfz5 10983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
163161, 120, 162syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
164153, 163mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
165 bcm1k 11533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
167642timesi 10033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
168167eqcomi 2391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
169168oveq2i 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  (
2  x.  1 ) )
170141, 142, 142subsub4d 9374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) ) )
17173nncni 9942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
173172, 63, 142subdid 9421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
174169, 170, 1733eqtr4a 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
175174oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
17677nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
177160nncnd 9948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
178176, 177, 142subsubd 9371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  1 ) )
179146oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
180 df-3 9991 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181179, 180syl6eqr 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
182178, 181eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  3 )
183182oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
184175, 183oveq12d 6038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
185166, 184eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
186146oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) )  =  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) )
187185, 186oveq12d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  (
2  x.  M ) ) ) )
188 3re 10003 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
189 nndivre 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
190188, 160, 189sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
191190recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
192 2re 10001 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
193 nndivre 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 2  x.  M
) )  e.  RR )
194192, 75, 193sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
195194recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
19687, 191, 195mulassd 9044 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
197140, 187, 1963eqtrd 2423 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
198 3cn 10004 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
199198a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
200160nnne0d 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =/=  0 )
20175nnne0d 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =/=  0 )
202199, 177, 172, 141, 200, 201divmuldivd 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 3  x.  2 )  / 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  x.  (
2  x.  M ) ) ) )
203 3t2e6 10060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
204203a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  x.  2 )  =  6 )
205177, 141mulcomd 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
206204, 205oveq12d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  x.  2 )  /  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
207202, 206eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
208207oveq2d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
209197, 208eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) ) )
210209oveq1d 6035 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
211 6re 10008 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  RR
21275, 160nnmulcld 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN )
213 nndivre 9967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  e.  RR )
214211, 212, 213sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
215214recnd 9047 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
216 nnm1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
217160, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
218174, 217eqeltrrd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  NN0 )
219218nn0red 10207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  RR )
220160nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  RR )
22177nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR )
222220ltm1d 9875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
223174, 222eqbrtrrd 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
224219, 220, 223ltled 9153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
225219, 220, 221, 224, 153letrd 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  N )
226218, 111syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
227 elfz5 10983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
228226, 120, 227syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
229225, 228mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N ) )
230 bccl2 11541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
231229, 230syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
232231nnne0d 9976 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =/=  0 )
233215, 87, 232divcan3d 9727 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
234210, 233eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
235234oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
236127, 87, 132, 232recdivd 9739 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  M ) ) ) )
237212nncnd 9948 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
238212nnne0d 9976 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =/=  0 )
239 6nn 10069 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
240239nncni 9942 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
241239nnne0i 9966 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
242 recdiv 9652 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
243240, 241, 242mpanl12 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
244237, 238, 243syl2anc 643 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( 6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
245235, 236, 2443eqtr3d 2427 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
246134, 138, 2453eqtrd 2423 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
24734, 49, 2463eqtr3d 2427 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    C_ wss 3263   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   "cima 4821   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ~~ cen 7042   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   -ucneg 9224    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   6c6 9985   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   ^cexp 11309    _C cbc 11520   #chash 11545   sum_csu 12406   tanctan 12595   picpi 12596   0 pc0p 19428  Polycply 19970  coeffccoe 19972  degcdgr 19973
This theorem is referenced by:  basellem8  20737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-tan 12601  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-0p 19429  df-limc 19620  df-dv 19621  df-ply 19974  df-idp 19975  df-coe 19976  df-dgr 19977  df-quot 20075
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