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Theorem basellem5 20868
Description: Lemma for basel 20873. Using vieta1 20230, we can calculate the sum of the roots of  P as the quotient of the top two coefficients, and since the function  T enumerates the roots, we are left with an equation that sums the  cot ^ 2 function at the  M different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem5  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Distinct variable groups:    j, k,
t, n, M    j, N, k, n, t    P, k, n    T, k
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . 3  |-  (coeff `  P )  =  (coeff `  P )
2 eqid 2437 . . 3  |-  (deg `  P )  =  (deg
`  P )
3 eqid 2437 . . 3  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
4 basel.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
5 basel.p . . . . 5  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
64, 5basellem2 20865 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
76simp1d 970 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
86simp2d 971 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
9 nnnn0 10229 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
10 hashfz1 11631 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
12 basel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
134, 5, 12basellem4 20867 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
14 ovex 6107 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1514f1oen 7129 . . . . . 6  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
1613, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
17 fzfid 11313 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
18 nnne0 10033 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
198, 18eqnetrd 2620 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
20 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0 p
) )
21 dgr0 20181 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
2220, 21syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
2322necon3i 2644 . . . . . . . . 9  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0 p )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0 p )
253fta1 20226 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0 p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
267, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
2726simpld 447 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
28 hashen 11632 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  =  (
# `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
2917, 27, 28syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
3016, 29mpbird 225 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) ) )
318, 11, 303eqtr2rd 2476 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  =  (deg `  P ) )
32 id 21 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
338, 32eqeltrd 2511 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  e.  NN )
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 20230 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) ) )
35 id 21 . . 3  |-  ( x  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  ->  x  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
36 oveq1 6089 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
3736oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
3837fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
3938oveq1d 6097 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
40 ovex 6107 . . . . 5  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
4139, 12, 40fvmpt 5807 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
4241adantl 454 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
43 cnvimass 5225 . . . . 5  |-  ( `' P " { 0 } )  C_  dom  P
44 plyf 20118 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
45 fdm 5596 . . . . . 6  |-  ( P : CC --> CC  ->  dom 
P  =  CC )
467, 44, 453syl 19 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  dom  P  =  CC )
4743, 46syl5sseq 3397 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  C_  CC )
4847sselda 3349 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  x  e.  ( `' P " { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 12518 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
506simp3d 972 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
518oveq1d 6097 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(deg `  P )  -  1 )  =  ( M  -  1 ) )
5250, 51fveq12d 5735 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) ) )
53 nnm1nn0 10262 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
54 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
5554oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
56 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  ( M  -  1
) ) )
5756oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )
5855, 57oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
59 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
60 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )  e.  _V
6158, 59, 60fvmpt 5807 . . . . . . 7  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1 ) ) ) ) )
6253, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
63 nncn 10009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
64 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65 nncan 9331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6663, 64, 65sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6766oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
68 neg1cn 10068 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
69 exp1 11388 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
7167, 70syl6eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  -u 1 )
7271oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  -u 1 ) )
73 2nn 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
74 nnmulcl 10024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7573, 74mpan 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
7675peano2nnd 10018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
774, 76syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
7877nnnn0d 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
79 2z 10313 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
80 nnz 10304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
81 peano2zm 10321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
83 zmulcl 10325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
8479, 82, 83sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 bccl 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
8678, 84, 85syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
8786nn0cnd 10277 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
88 mulcom 9077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
8987, 68, 88sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9087mulm1d 9486 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9172, 89, 903eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9252, 62, 913eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9387negcld 9399 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
9492, 93eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  e.  CC )
9550, 8fveq12d 5735 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M ) )
96 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9796oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
98 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
9998oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
10097, 99oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
101 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
102100, 59, 101fvmpt 5807 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1039, 102syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
10463subidd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
105104oveq2d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
106 exp0 11387 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
10768, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
108105, 107syl6eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
109108oveq2d 6098 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
110 1nn0 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
111 nn0uz 10521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
112110, 111eleqtri 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
113 fzss1 11092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
11575nnred 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
116115lep1d 9943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
117116, 4syl6breqr 4253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
118 nnuz 10522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11975, 118syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
12077nnzd 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
121 elfz5 11052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
123117, 122mpbird 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 1 ... N ) )
124114, 123sseldi 3347 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
125 bccl2 11615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
127126nncnd 10017 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
128127mulid1d 9106 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
129109, 128eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
13095, 103, 1293eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
131130, 127eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  e.  CC )
132126nnne0d 10045 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
133130, 132eqnetrd 2620 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =/=  0 )
13494, 131, 133divnegd 9804 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  (
-u ( (coeff `  P ) `  (
(deg `  P )  -  1 ) )  /  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) ) ) )
13592negeqd 9301 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
13687negnegd 9403 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
137135, 136eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
138137, 130oveq12d 6100 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u ( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) ) )
139 bcm1k 11607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
140123, 139syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
14175nncnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
14264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
143141, 142, 142pnncand 9451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1444oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )
145 df-2 10059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
146143, 144, 1453eqtr4g 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  =  2 )
147 2nn0 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
148146, 147syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 )
149 nnm1nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
15075, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
151 nn0sub 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
152150, 78, 151syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e. 
NN0 ) )
153148, 152mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  <_  N )
154632timesd 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =  ( M  +  M ) )
155154oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  +  M )  - 
1 ) )
15663, 63, 142addsubd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  +  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
157155, 156eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
158 nn0nnaddcl 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  M
)  e.  NN )
15953, 158mpancom 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  M )  e.  NN )
160157, 159eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN )
161160, 118syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
162 elfz5 11052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
163161, 120, 162syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
164153, 163mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
165 bcm1k 11607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
167642timesi 10102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
168167eqcomi 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
169168oveq2i 6093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  (
2  x.  1 ) )
170141, 142, 142subsub4d 9443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) ) )
17173nncni 10011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
173172, 63, 142subdid 9490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
174169, 170, 1733eqtr4a 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
175174oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
17677nncnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
177160nncnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
178176, 177, 142subsubd 9440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  1 ) )
179146oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
180 df-3 10060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181179, 180syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
182178, 181eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  3 )
183182oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
184175, 183oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
185166, 184eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
186146oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) )  =  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) )
187185, 186oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  (
2  x.  M ) ) ) )
188 3re 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
189 nndivre 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
190188, 160, 189sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
191190recnd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
192 2re 10070 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
193 nndivre 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 2  x.  M
) )  e.  RR )
194192, 75, 193sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
195194recnd 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
19687, 191, 195mulassd 9112 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
197140, 187, 1963eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
198 3cn 10073 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
199198a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
200160nnne0d 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =/=  0 )
20175nnne0d 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =/=  0 )
202199, 177, 172, 141, 200, 201divmuldivd 9832 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 3  x.  2 )  / 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  x.  (
2  x.  M ) ) ) )
203 3t2e6 10129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
204203a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  x.  2 )  =  6 )
205177, 141mulcomd 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
206204, 205oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  x.  2 )  /  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
207202, 206eqtrd 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
208207oveq2d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
209197, 208eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) ) )
210209oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
211 6re 10077 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  RR
21275, 160nnmulcld 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN )
213 nndivre 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  e.  RR )
214211, 212, 213sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
215214recnd 9115 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
216 nnm1nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
217160, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
218174, 217eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  NN0 )
219218nn0red 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  RR )
220160nnred 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  RR )
22177nnred 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR )
222220ltm1d 9944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
223174, 222eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
224219, 220, 223ltled 9222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
225219, 220, 221, 224, 153letrd 9228 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  N )
226218, 111syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
227 elfz5 11052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
228226, 120, 227syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
229225, 228mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N ) )
230 bccl2 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
231229, 230syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
232231nnne0d 10045 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =/=  0 )
233215, 87, 232divcan3d 9796 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
234210, 233eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
235234oveq2d 6098 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
236127, 87, 132, 232recdivd 9808 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  M ) ) ) )
237212nncnd 10017 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
238212nnne0d 10045 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =/=  0 )
239 6nn 10138 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
240239nncni 10011 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
241239nnne0i 10035 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
242 recdiv 9721 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
243240, 241, 242mpanl12 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
244237, 238, 243syl2anc 644 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( 6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
245235, 236, 2443eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
246134, 138, 2453eqtrd 2473 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
24734, 49, 2463eqtr3d 2477 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    C_ wss 3321   {csn 3815   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   `'ccnv 4878   dom cdm 4879   "cima 4882   -->wf 5451   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ~~ cen 7107   Fincfn 7110   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   3c3 10051   6c6 10054   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044   ^cexp 11383    _C cbc 11594   #chash 11619   sum_csu 12480   tanctan 12669   picpi 12670   0 pc0p 19562  Polycply 20104  coeffccoe 20106  degcdgr 20107
This theorem is referenced by:  basellem8  20871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-0p 19563  df-limc 19754  df-dv 19755  df-ply 20108  df-idp 20109  df-coe 20110  df-dgr 20111  df-quot 20209
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