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Theorem basellem5 20338
Description: Lemma for basel 20343. Using vieta1 19708, we can calculate the sum of the roots of  P as the quotient of the top two coefficients, and since the function  T enumerates the roots, we are left with an equation that sums the  cot ^ 2 function at the  M different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
basel.p  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
basel.t  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
Assertion
Ref Expression
basellem5  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Distinct variable groups:    j, k,
t, n, M    j, N, k, n, t    P, k, n    T, k
Allowed substitution hints:    P( t, j)    T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (coeff `  P )  =  (coeff `  P )
2 eqid 2296 . . 3  |-  (deg `  P )  =  (deg
`  P )
3 eqid 2296 . . 3  |-  ( `' P " { 0 } )  =  ( `' P " { 0 } )
4 basel.n . . . . 5  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
5 basel.p . . . . 5  |-  P  =  ( t  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( t ^ j ) ) )
64, 5basellem2 20335 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  P
)  =  M  /\  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) ) )
76simp1d 967 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  P  e.  (Poly `  CC )
)
86simp2d 968 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =  M )
9 nnnn0 9988 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
10 hashfz1 11361 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
12 basel.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( n  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
134, 5, 12basellem4 20337 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )
14 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
1514f1oen 6898 . . . . . 6  |-  ( T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } )  ->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
1613, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) )
17 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
18 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
198, 18eqnetrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  =/=  0
)
20 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  (deg `  0 p
) )
21 dgr0 19659 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
2220, 21syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =  0 p  -> 
(deg `  P )  =  0 )
2322necon3i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (deg
`  P )  =/=  0  ->  P  =/=  0 p )
2419, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  P  =/=  0 p )
253fta1 19704 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  (Poly `  CC )  /\  P  =/=  0 p )  -> 
( ( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
267, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( `' P " { 0 } )  e.  Fin  /\  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  <_  (deg `  P
) ) )
2726simpld 445 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )
28 hashen 11362 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  ( `' P " { 0 } )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( 1 ... M
) )  =  (
# `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
2917, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) )  <->  ( 1 ... M )  ~~  ( `' P " { 0 } ) ) )
3016, 29mpbird 223 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  ( `' P " { 0 } ) ) )
318, 11, 303eqtr2rd 2335 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( `' P " { 0 } ) )  =  (deg `  P ) )
32 id 19 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
338, 32eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (deg `  P )  e.  NN )
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 19708 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) ) )
35 id 19 . . 3  |-  ( x  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  ->  x  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
36 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
n  x.  pi )  =  ( k  x.  pi ) )
3736oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( n  x.  pi )  /  N )  =  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )
3837fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) )  =  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
3938oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
( tan `  (
( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
40 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  _V
4139, 12, 40fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
4241adantl 452 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( T `  k )  =  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
43 cnvimass 5049 . . . . 5  |-  ( `' P " { 0 } )  C_  dom  P
44 plyf 19596 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (Poly `  CC )  ->  P : CC --> CC )
45 fdm 5409 . . . . . 6  |-  ( P : CC --> CC  ->  dom 
P  =  CC )
467, 44, 453syl 18 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  dom  P  =  CC )
4743, 46syl5sseq 3239 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( `' P " { 0 } )  C_  CC )
4847sselda 3193 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  x  e.  ( `' P " { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 12212 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ x  e.  ( `' P " { 0 } ) x  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
506simp3d 969 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (coeff `  P )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) )
518oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(deg `  P )  -  1 )  =  ( M  -  1 ) )
5250, 51fveq12d 5547 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) ) )
53 nnm1nn0 10021 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
54 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
5554oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
56 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  ( M  -  1
) ) )
5756oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )
5855, 57oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M  - 
1 )  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
59 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) )
60 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) )  e.  _V
6158, 59, 60fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1 ) ) ) ) )
6253, 61syl 15 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  ( M  -  1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  -  1
) ) ) ) )
63 nncn 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
64 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
65 nncan 9092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6663, 64, 65sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  ( M  -  1 ) )  =  1 )
6766oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  ( -u 1 ^ 1 ) )
68 neg1cn 9829 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
69 exp1 11125 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 1 )  =  -u 1
)
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 1 )  =  -u 1
7167, 70syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) )  =  -u 1 )
7271oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  -u 1 ) )
73 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
74 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
7573, 74mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
7675peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
774, 76syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
7877nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
79 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
80 nnz 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
81 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
83 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
8479, 82, 83sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )
85 bccl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
8678, 84, 85syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e. 
NN0 )
8786nn0cnd 10036 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
88 mulcom 8839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
8987, 68, 88sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  -u 1
)  =  ( -u
1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
9087mulm1d 9247 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1  x.  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9172, 89, 903eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  ( M  - 
1 ) ) ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9252, 62, 913eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
9387negcld 9160 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  CC )
9492, 93eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  e.  CC )
9550, 8fveq12d 5547 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M ) )
96 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9796oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  M ) ) )
98 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  ( M  -  n )  =  ( M  -  M ) )
9998oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) )  =  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )
10097, 99oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
( N  _C  (
2  x.  n ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  n ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
101 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) )  e.  _V
102100, 59, 101fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M
) ) ) )
1039, 102syl 15 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( N  _C  ( 2  x.  n
) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  n ) ) ) ) `  M
)  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) ) ) )
10463subidd 9161 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  M )  =  0 )
105104oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
106 exp0 11124 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
10768, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
108105, 107syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( M  -  M ) )  =  1 )
109108oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  x.  1 ) )
110 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
111 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
112110, 111eleqtri 2368 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
113 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 0 ... N
)
11575nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  RR )
116115lep1d 9704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
117116, 4syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  <_  N )
118 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
11975, 118syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
12077nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
121 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
122119, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( 2  x.  M )  <_  N ) )
123117, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 1 ... N ) )
124114, 123sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  ( 0 ... N ) )
125 bccl2 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  NN )
127126nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
128127mulid1d 8868 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  1 )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M
) ) )
129109, 128eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  x.  ( -u
1 ^ ( M  -  M ) ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
13095, 103, 1293eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )
131130, 127eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  e.  CC )
132126nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =/=  0 )
133130, 132eqnetrd 2477 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
)  =/=  0 )
13494, 131, 133divnegd 9565 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  (
-u ( (coeff `  P ) `  (
(deg `  P )  -  1 ) )  /  ( (coeff `  P ) `  (deg `  P ) ) ) )
13592negeqd 9062 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
13687negnegd 9164 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  -u -u ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
137135, 136eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
(coeff `  P ) `  ( (deg `  P
)  -  1 ) )  =  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
138137, 130oveq12d 5892 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u ( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) ) )
139 bcm1k 11343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
140123, 139syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) ) )
14175nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
14264a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
143141, 142, 142pnncand 9212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
1444oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )
145 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
146143, 144, 1453eqtr4g 2353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  =  2 )
147 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
148146, 147syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 )
149 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  M )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
15075, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN0 )
151 nn0sub 10030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN0 ) )
152150, 78, 151syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  <_  N  <->  ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e. 
NN0 ) )
153148, 152mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  <_  N )
154632timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =  ( M  +  M ) )
155154oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  +  M )  - 
1 ) )
15663, 63, 142addsubd 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  +  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
157155, 156eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  M ) )
158 nn0nnaddcl 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  M
)  e.  NN )
15953, 158mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  +  M )  e.  NN )
160157, 159eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN )
161160, 118syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
162 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
163161, 120, 162syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
2  x.  M )  -  1 )  <_  N ) )
164153, 163mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N ) )
165 bcm1k 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
166164, 165syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
167642timesi 9861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
168167eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  ( 2  x.  1 )
169168oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  (
2  x.  1 ) )
170141, 142, 142subsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 1  +  1 ) ) )
17173nncni 9772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
172171a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
173172, 63, 142subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
174169, 170, 1733eqtr4a 2354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )
175174oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )
17677nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
177160nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
178176, 177, 142subsubd 9201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  1 ) )
179146oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  ( 2  +  1 ) )
180 df-3 9821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 2  +  1 )
181179, 180syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  1 )  =  3 )
182178, 181eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  ( (
( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  =  3 )
183182oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
184175, 183oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  -  1 ) )  /  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
185166, 184eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )
186146oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) )  =  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) )
187185, 186oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  (
2  x.  M ) ) ) )
188 3re 9833 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  RR
189 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  NN )  ->  ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
190188, 160, 189sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  RR )
191190recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
192 2re 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
193 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  M
)  e.  NN )  ->  ( 2  / 
( 2  x.  M
) )  e.  RR )
194192, 75, 193sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  RR )
195194recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  /  ( 2  x.  M ) )  e.  CC )
19687, 191, 195mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  / 
( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  (
2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
197140, 187, 1963eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) ) ) )
198 3cn 9834 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  CC
199198a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
200160nnne0d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  =/=  0 )
20175nnne0d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  =/=  0 )
202199, 177, 172, 141, 200, 201divmuldivd 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( 3  x.  2 )  / 
( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  x.  (
2  x.  M ) ) ) )
203 3t2e6 9888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
204203a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
3  x.  2 )  =  6 )
205177, 141mulcomd 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )
206204, 205oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  x.  2 )  /  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  x.  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
207202, 206eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 3  /  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  x.  ( 2  /  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
208207oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( ( 3  /  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  x.  ( 2  / 
( 2  x.  M
) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  ( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
209197, 208eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) ) )
210209oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) ) )  x.  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )
211 6re 9838 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  RR
21275, 160nnmulcld 9809 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  NN )
213 nndivre 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  NN )  ->  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  e.  RR )
214211, 212, 213sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
215214recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) )  e.  CC )
216 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
217160, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
218174, 217eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  NN0 )
219218nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  RR )
220160nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  RR )
22177nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR )
222220ltm1d 9705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  -  1 )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
223174, 222eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
224219, 220, 223ltled 8983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
225219, 220, 221, 224, 153letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  <_  N )
226218, 111syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
227 elfz5 10806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
228226, 120, 227syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( 2  x.  ( M  - 
1 ) )  <_  N ) )
229225, 228mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N ) )
230 bccl2 11351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( M  -  1 ) )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
231229, 230syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  e.  NN )
232231nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  =/=  0 )
233215, 87, 232divcan3d 9557 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  x.  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
234210, 233eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) )  =  ( 6  / 
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) ) )
235234oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) ) )
236127, 87, 132, 232recdivd 9569 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( N  _C  ( 2  x.  M ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( 2  x.  ( M  -  1 ) ) )  / 
( N  _C  (
2  x.  M ) ) ) )
237212nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
238212nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  =/=  0 )
239 6nn 9897 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
240239nncni 9772 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
241239nnne0i 9796 . . . . . 6  |-  6  =/=  0
242 recdiv 9482 . . . . . 6  |-  ( ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
243240, 241, 242mpanl12 663 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( 6  /  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
244237, 238, 243syl2anc 642 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  /  ( 6  /  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
245235, 236, 2443eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  _C  (
2  x.  ( M  -  1 ) ) )  /  ( N  _C  ( 2  x.  M ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )
246134, 138, 2453eqtrd 2332 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  -u (
( (coeff `  P
) `  ( (deg `  P )  -  1 ) )  /  (
(coeff `  P ) `  (deg `  P )
) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 ) )
24734, 49, 2463eqtr3d 2336 1  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   6c6 9815   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120    _C cbc 11331   #chash 11353   sum_csu 12174   tanctan 12363   picpi 12364   0 pc0p 19040  Polycply 19582  coeffccoe 19584  degcdgr 19585
This theorem is referenced by:  basellem8  20341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687
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