Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Unicode version

Theorem basellem5 20868
 Description: Lemma for basel 20873. Using vieta1 20230, we can calculate the sum of the roots of as the quotient of the top two coefficients, and since the function enumerates the roots, we are left with an equation that sums the function at the different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n
basel.p
basel.t
Assertion
Ref Expression
basellem5
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . 3 coeff coeff
2 eqid 2437 . . 3 deg deg
3 eqid 2437 . . 3
4 basel.n . . . . 5
5 basel.p . . . . 5
64, 5basellem2 20865 . . . 4 Poly deg coeff
76simp1d 970 . . 3 Poly
86simp2d 971 . . . 4 deg
9 nnnn0 10229 . . . . 5
10 hashfz1 11631 . . . . 5
119, 10syl 16 . . . 4
12 basel.t . . . . . . 7
134, 5, 12basellem4 20867 . . . . . 6
14 ovex 6107 . . . . . . 7
1514f1oen 7129 . . . . . 6
1613, 15syl 16 . . . . 5
17 fzfid 11313 . . . . . 6
18 nnne0 10033 . . . . . . . . . 10
198, 18eqnetrd 2620 . . . . . . . . 9 deg
20 fveq2 5729 . . . . . . . . . . 11 deg deg
21 dgr0 20181 . . . . . . . . . . 11 deg
2220, 21syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10 deg
2322necon3i 2644 . . . . . . . . 9 deg
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8
253fta1 20226 . . . . . . . 8 Poly deg
267, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . 7 deg
2726simpld 447 . . . . . 6
28 hashen 11632 . . . . . 6
2917, 27, 28syl2anc 644 . . . . 5
3016, 29mpbird 225 . . . 4
318, 11, 303eqtr2rd 2476 . . 3 deg
32 id 21 . . . 4
338, 32eqeltrd 2511 . . 3 deg
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 20230 . 2 coeffdeg coeffdeg
35 id 21 . . 3
36 oveq1 6089 . . . . . . . 8
3736oveq1d 6097 . . . . . . 7
3837fveq2d 5733 . . . . . 6
3938oveq1d 6097 . . . . 5
40 ovex 6107 . . . . 5
4139, 12, 40fvmpt 5807 . . . 4
43 cnvimass 5225 . . . . 5
44 plyf 20118 . . . . . 6 Poly
45 fdm 5596 . . . . . 6
467, 44, 453syl 19 . . . . 5
4743, 46syl5sseq 3397 . . . 4
4847sselda 3349 . . 3
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 12518 . 2
506simp3d 972 . . . . . . 7 coeff
518oveq1d 6097 . . . . . . 7 deg
5250, 51fveq12d 5735 . . . . . 6 coeffdeg
53 nnm1nn0 10262 . . . . . . 7
54 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10
5554oveq2d 6098 . . . . . . . . 9
56 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10
5756oveq2d 6098 . . . . . . . . 9
5855, 57oveq12d 6100 . . . . . . . 8
59 eqid 2437 . . . . . . . 8
60 ovex 6107 . . . . . . . 8
6158, 59, 60fvmpt 5807 . . . . . . 7
6253, 61syl 16 . . . . . 6
63 nncn 10009 . . . . . . . . . . 11
64 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . 11
65 nncan 9331 . . . . . . . . . . 11
6663, 64, 65sylancl 645 . . . . . . . . . 10
6766oveq2d 6098 . . . . . . . . 9
68 neg1cn 10068 . . . . . . . . . 10
69 exp1 11388 . . . . . . . . . 10
7068, 69ax-mp 8 . . . . . . . . 9
7167, 70syl6eq 2485 . . . . . . . 8
7271oveq2d 6098 . . . . . . 7
73 2nn 10134 . . . . . . . . . . . . . 14
74 nnmulcl 10024 . . . . . . . . . . . . . 14
7573, 74mpan 653 . . . . . . . . . . . . 13
7675peano2nnd 10018 . . . . . . . . . . . 12
774, 76syl5eqel 2521 . . . . . . . . . . 11
7877nnnn0d 10275 . . . . . . . . . 10
79 2z 10313 . . . . . . . . . . 11
80 nnz 10304 . . . . . . . . . . . 12
81 peano2zm 10321 . . . . . . . . . . . 12
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11
83 zmulcl 10325 . . . . . . . . . . 11
8479, 82, 83sylancr 646 . . . . . . . . . 10
85 bccl 11614 . . . . . . . . . 10
8678, 84, 85syl2anc 644 . . . . . . . . 9
8786nn0cnd 10277 . . . . . . . 8
88 mulcom 9077 . . . . . . . 8
8987, 68, 88sylancl 645 . . . . . . 7
9087mulm1d 9486 . . . . . . 7
9172, 89, 903eqtrd 2473 . . . . . 6
9252, 62, 913eqtrd 2473 . . . . 5 coeffdeg
9387negcld 9399 . . . . 5
9492, 93eqeltrd 2511 . . . 4 coeffdeg
9550, 8fveq12d 5735 . . . . . 6 coeffdeg
96 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10
9796oveq2d 6098 . . . . . . . . 9
98 oveq2 6090 . . . . . . . . . 10
9998oveq2d 6098 . . . . . . . . 9
10097, 99oveq12d 6100 . . . . . . . 8
101 ovex 6107 . . . . . . . 8
102100, 59, 101fvmpt 5807 . . . . . . 7
1039, 102syl 16 . . . . . 6
10463subidd 9400 . . . . . . . . . 10
105104oveq2d 6098 . . . . . . . . 9
106 exp0 11387 . . . . . . . . . 10
10768, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9
108105, 107syl6eq 2485 . . . . . . . 8
109108oveq2d 6098 . . . . . . 7
110 1nn0 10238 . . . . . . . . . . . . 13
111 nn0uz 10521 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 111eleqtri 2509 . . . . . . . . . . . 12
113 fzss1 11092 . . . . . . . . . . . 12
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
11575nnred 10016 . . . . . . . . . . . . . 14
116115lep1d 9943 . . . . . . . . . . . . 13
117116, 4syl6breqr 4253 . . . . . . . . . . . 12
118 nnuz 10522 . . . . . . . . . . . . . 14
11975, 118syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13
12077nnzd 10375 . . . . . . . . . . . . 13
121 elfz5 11052 . . . . . . . . . . . . 13
122119, 120, 121syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
123117, 122mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
124114, 123sseldi 3347 . . . . . . . . . 10
125 bccl2 11615 . . . . . . . . . 10
126124, 125syl 16 . . . . . . . . 9
127126nncnd 10017 . . . . . . . 8
128127mulid1d 9106 . . . . . . 7
129109, 128eqtrd 2469 . . . . . 6
13095, 103, 1293eqtrd 2473 . . . . 5 coeffdeg
131130, 127eqeltrd 2511 . . . 4 coeffdeg
132126nnne0d 10045 . . . . 5
133130, 132eqnetrd 2620 . . . 4 coeffdeg
13494, 131, 133divnegd 9804 . . 3 coeffdeg coeffdeg coeffdeg coeffdeg
13592negeqd 9301 . . . . 5 coeffdeg
13687negnegd 9403 . . . . 5
137135, 136eqtrd 2469 . . . 4 coeffdeg
138137, 130oveq12d 6100 . . 3 coeffdeg coeffdeg
139 bcm1k 11607 . . . . . . . . . 10
140123, 139syl 16 . . . . . . . . 9
14175nncnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143141, 142, 142pnncand 9451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1444oveq1i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16
145 df-2 10059 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146143, 144, 1453eqtr4g 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 2nn0 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . 14
149 nnm1nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15075, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 nn0sub 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15
152150, 78, 151syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14
153148, 152mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
154632timesd 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
155154oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15663, 63, 142addsubd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
157155, 156eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16
158 nn0nnaddcl 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
15953, 158mpancom 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160157, 159eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15
161160, 118syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . 14
162 elfz5 11052 . . . . . . . . . . . . . 14
163161, 120, 162syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
164153, 163mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
165 bcm1k 11607 . . . . . . . . . . . 12
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . 11
167642timesi 10102 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168167eqcomi 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15
169168oveq2i 6093 . . . . . . . . . . . . . 14
170141, 142, 142subsub4d 9443 . . . . . . . . . . . . . 14
17173nncni 10011 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172, 63, 142subdid 9490 . . . . . . . . . . . . . 14
174169, 170, 1733eqtr4a 2495 . . . . . . . . . . . . 13
175174oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . 12
17677nncnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15
177160nncnd 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15
178176, 177, 142subsubd 9440 . . . . . . . . . . . . . 14
179146oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15
180 df-3 10060 . . . . . . . . . . . . . . 15
181179, 180syl6eqr 2487 . . . . . . . . . . . . . 14
182178, 181eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13
183182oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . 12
184175, 183oveq12d 6100 . . . . . . . . . . 11
185166, 184eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10
186146oveq1d 6097 . . . . . . . . . 10
187185, 186oveq12d 6100 . . . . . . . . 9
188 3re 10072 . . . . . . . . . . . 12
189 nndivre 10036 . . . . . . . . . . . 12
190188, 160, 189sylancr 646 . . . . . . . . . . 11
191190recnd 9115 . . . . . . . . . 10
192 2re 10070 . . . . . . . . . . . 12
193 nndivre 10036 . . . . . . . . . . . 12
194192, 75, 193sylancr 646 . . . . . . . . . . 11
195194recnd 9115 . . . . . . . . . 10
19687, 191, 195mulassd 9112 . . . . . . . . 9
197140, 187, 1963eqtrd 2473 . . . . . . . 8
198 3cn 10073 . . . . . . . . . . . 12
199198a1i 11 . . . . . . . . . . 11
200160nnne0d 10045 . . . . . . . . . . 11
20175nnne0d 10045 . . . . . . . . . . 11
202199, 177, 172, 141, 200, 201divmuldivd 9832 . . . . . . . . . 10
203 3t2e6 10129 . . . . . . . . . . . 12
204203a1i 11 . . . . . . . . . . 11
205177, 141mulcomd 9110 . . . . . . . . . . 11
206204, 205oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10
207202, 206eqtrd 2469 . . . . . . . . 9
208207oveq2d 6098 . . . . . . . 8
209197, 208eqtrd 2469 . . . . . . 7
210209oveq1d 6097 . . . . . 6
211 6re 10077 . . . . . . . . 9
21275, 160nnmulcld 10048 . . . . . . . . 9
213 nndivre 10036 . . . . . . . . 9
214211, 212, 213sylancr 646 . . . . . . . 8
215214recnd 9115 . . . . . . 7
216 nnm1nn0 10262 . . . . . . . . . . . . . 14
217160, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
218174, 217eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . 12
219218nn0red 10276 . . . . . . . . . . 11
220160nnred 10016 . . . . . . . . . . 11
22177nnred 10016 . . . . . . . . . . 11
222220ltm1d 9944 . . . . . . . . . . . . 13
223174, 222eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . . . . 12
224219, 220, 223ltled 9222 . . . . . . . . . . 11
225219, 220, 221, 224, 153letrd 9228 . . . . . . . . . 10
226218, 111syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . 11
227 elfz5 11052 . . . . . . . . . . 11
228226, 120, 227syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
229225, 228mpbird 225 . . . . . . . . 9
230 bccl2 11615 . . . . . . . . 9
231229, 230syl 16 . . . . . . . 8
232231nnne0d 10045 . . . . . . 7
233215, 87, 232divcan3d 9796 . . . . . 6
234210, 233eqtrd 2469 . . . . 5
235234oveq2d 6098 . . . 4
236127, 87, 132, 232recdivd 9808 . . . 4
237212nncnd 10017 . . . . 5
238212nnne0d 10045 . . . . 5
239 6nn 10138 . . . . . . 7
240239nncni 10011 . . . . . 6
241239nnne0i 10035 . . . . . 6
242 recdiv 9721 . . . . . 6
243240, 241, 242mpanl12 665 . . . . 5
244237, 238, 243syl2anc 644 . . . 4
245235, 236, 2443eqtr3d 2477 . . 3
246134, 138, 2453eqtrd 2473 . 2 coeffdeg coeffdeg
24734, 49, 2463eqtr3d 2477 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600   wss 3321  csn 3815   class class class wbr 4213   cmpt 4267  ccnv 4878   cdm 4879  cima 4882  wf 5451  wf1o 5454  cfv 5455  (class class class)co 6082   cen 7107  cfn 7110  cc 8989  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   caddc 8994   cmul 8996   clt 9121   cle 9122   cmin 9292  cneg 9293   cdiv 9678  cn 10001  c2 10050  c3 10051  c6 10054  cn0 10222  cz 10283  cuz 10489  cfz 11044  cexp 11383   cbc 11594  chash 11619  csu 12480  ctan 12669  cpi 12670  c0p 19562  Polycply 20104  coeffccoe 20106  degcdgr 20107 This theorem is referenced by:  basellem8  20871 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-0p 19563  df-limc 19754  df-dv 19755  df-ply 20108  df-idp 20109  df-coe 20110  df-dgr 20111  df-quot 20209
 Copyright terms: Public domain W3C validator