MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Unicode version

Theorem basellem6 20858
Description: Lemma for basel 20862. The function  G goes to zero because it is bounded by  1  /  n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem6  |-  G  ~~>  0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10511 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10301 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9038 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 divcnv 12623 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
7 basel.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
8 nnex 9996 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
98mptex 5958 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
107, 9eqeltri 2505 . . . 4  |-  G  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
12 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
13 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
1512, 13, 14fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
17 nnrecre 10026 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
20 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
2120oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2221oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
23 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e. 
_V
2422, 7, 23fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
2524adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
26 2nn 10123 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
28 nnmulcl 10013 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
2927, 28sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
3029peano2nnd 10007 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
3130nnrecred 10035 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
3225, 31eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
33 nnre 9997 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
3529nnred 10005 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
3630nnred 10005 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
37 nnnn0 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3837adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
39 nn0addge1 10256 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  <_  ( k  +  k ) )
4034, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( k  +  k ) )
4134recnd 9104 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
42412timesd 10200 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
4340, 42breqtrrd 4230 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( 2  x.  k
) )
4435lep1d 9932 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
4534, 35, 36, 43, 44letrd 9217 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
46 nngt0 10019 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
4746adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  k )
4830nngt0d 10033 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
49 lerec 9882 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
5034, 47, 36, 48, 49syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <_  ( (
2  x.  k )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
5145, 50mpbid 202 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5251, 25, 163brtr4d 4234 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )
5330nnrpd 10637 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
5453rpreccld 10648 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10642 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5655, 25breqtrrd 4230 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
571, 3, 6, 11, 19, 32, 52, 56climsqz2 12425 . 2  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
5857trud 1332 1  |-  G  ~~>  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    < clt 9110    <_ cle 9111    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   NN0cn0 10211   ZZcz 10272    ~~> cli 12268
This theorem is referenced by:  basellem7  20859  basellem9  20861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273
  Copyright terms: Public domain W3C validator