MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Unicode version

Theorem basellem6 20737
Description: Lemma for basel 20741. The function  G goes to zero because it is bounded by  1  /  n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem6  |-  G  ~~>  0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10455 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10245 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 8983 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 divcnv 12562 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
7 basel.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
8 nnex 9940 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
98mptex 5907 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
107, 9eqeltri 2459 . . . 4  |-  G  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
12 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
13 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
1512, 13, 14fvmpt 5747 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
1615adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
17 nnrecre 9970 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1817adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2463 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
20 oveq2 6030 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
2120oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2221oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
23 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e. 
_V
2422, 7, 23fvmpt 5747 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
2524adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
26 2nn 10067 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
28 nnmulcl 9957 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
2927, 28sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
3029peano2nnd 9951 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
3130nnrecred 9979 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
3225, 31eqeltrd 2463 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
33 nnre 9941 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
3529nnred 9949 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
3630nnred 9949 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
37 nnnn0 10162 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3837adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
39 nn0addge1 10200 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  <_  ( k  +  k ) )
4034, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( k  +  k ) )
4134recnd 9049 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
42412timesd 10144 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
4340, 42breqtrrd 4181 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( 2  x.  k
) )
4435lep1d 9876 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
4534, 35, 36, 43, 44letrd 9161 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
46 nngt0 9963 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
4746adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  k )
4830nngt0d 9977 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
49 lerec 9826 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
5034, 47, 36, 48, 49syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <_  ( (
2  x.  k )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
5145, 50mpbid 202 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5251, 25, 163brtr4d 4185 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )
5330nnrpd 10581 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
5453rpreccld 10592 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10586 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5655, 25breqtrrd 4181 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
571, 3, 6, 11, 19, 32, 52, 56climsqz2 12364 . 2  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
5857trud 1329 1  |-  G  ~~>  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216    ~~> cli 12207
This theorem is referenced by:  basellem7  20738  basellem9  20740
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212
  Copyright terms: Public domain W3C validator