MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Unicode version

Theorem basellem6 20323
Description: Lemma for basel 20327. The function  G goes to zero because it is bounded by  1  /  n. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
basellem6  |-  G  ~~>  0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 divcnv 12312 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
64, 5mp1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
7 basel.g . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
8 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
98mptex 5746 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
107, 9eqeltri 2353 . . . 4  |-  G  e. 
_V
1110a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
12 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
13 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
1512, 13, 14fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
17 nnrecre 9782 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1817adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
1916, 18eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  e.  RR )
20 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  k ) )
2120oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
23 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e. 
_V
2422, 7, 23fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
2524adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
26 2nn 9877 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2726a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
28 nnmulcl 9769 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  k
)  e.  NN )
2927, 28sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  NN )
3029peano2nnd 9763 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  NN )
3130nnrecred 9791 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
3225, 31eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
33 nnre 9753 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3433adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
3529nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
3630nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
37 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
3837adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN0 )
39 nn0addge1 10010 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
k  <_  ( k  +  k ) )
4034, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( k  +  k ) )
4134recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  CC )
42412timesd 9954 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  =  ( k  +  k ) )
4340, 42breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( 2  x.  k
) )
4435lep1d 9688 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  k )  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
4534, 35, 36, 43, 44letrd 8973 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
46 nngt0 9775 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
4746adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  k )
4830nngt0d 9789 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
49 lerec 9638 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
5034, 47, 36, 48, 49syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  <_  ( (
2  x.  k )  +  1 )  <->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
5145, 50mpbid 201 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
5251, 25, 163brtr4d 4053 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )
5330nnrpd 10389 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
5453rpreccld 10400 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
5554rpge0d 10394 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
5655, 25breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
571, 3, 6, 11, 19, 32, 52, 56climsqz2 12115 . 2  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
5857trud 1314 1  |-  G  ~~>  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  basellem7  20324  basellem9  20326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
  Copyright terms: Public domain W3C validator