MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Unicode version

Theorem basellem7 20822
Description: Lemma for basel 20825. The function  1  +  A  x.  G for any fixed  A goes to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basellem7.2  |-  A  e.  CC
Assertion
Ref Expression
basellem7  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9004 . . . . 5  |-  1  e.  CC
51eqimss2i 3363 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
6 nnex 9962 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
75, 6climconst2 12297 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
84, 3, 7sylancr 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
9 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) )  e.  _V )
11 basellem7.2 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
125, 6climconst2 12297 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
1311, 3, 12sylancr 645 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
14 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  e. 
_V
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  e.  _V )
16 basel.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
1716basellem6 20821 . . . . . . 7  |-  G  ~~>  0
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
1911elexi 2925 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2019fconst 5588 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  { A }
) : NN --> { A }
2111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  A  e.  CC )
2221snssd 3903 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  { A }  C_  CC )
23 fss 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> { A }  /\  { A }  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2420, 22, 23sylancr 645 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2524ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  e.  CC )
26 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
28 nnmulcl 9979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2927, 28sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
3029peano2nnd 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
3130nnrecred 10001 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
3231recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
3332, 16fmptd 5852 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G : NN --> CC )
3433ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
35 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC  ->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
3624, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
37 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( G : NN --> CC  ->  G  Fn  NN )
3833, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
396a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  NN  e.  _V )
40 inidm 3510 . . . . . . 7  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
41 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  k
) )
42 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
4336, 38, 39, 39, 40, 41, 42ofval 6273 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
) `  k )  x.  ( G `  k
) ) )
441, 3, 13, 15, 18, 25, 34, 43climmul 12381 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  ~~>  ( A  x.  0 ) )
4511mul01i 9212 . . . . 5  |-  ( A  x.  0 )  =  0
4644, 45syl6breq 4211 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  ~~>  0 )
47 1ex 9042 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
4847fconst 5588 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
494a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
5049snssd 3903 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  { 1 }  C_  CC )
51 fss 5558 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  CC )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5248, 50, 51sylancr 645 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5352ffvelrnda 5829 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  e.  CC )
54 mulcl 9030 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
5554adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5655, 24, 33, 39, 39, 40off 6279 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC )
5756ffvelrnda 5829 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  e.  CC )
5848a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 } )
59 ffn 5550 . . . . . 6  |-  ( ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
6058, 59syl 16 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
61 ffn 5550 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC  ->  (
( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  Fn  NN )
6256, 61syl 16 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  Fn  NN )
63 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  k ) )
64 eqidd 2405 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) `  k
) )
6560, 62, 39, 39, 40, 63, 64ofval 6273 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  k )  +  ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `  k ) ) )
661, 3, 8, 10, 46, 53, 57, 65climadd 12380 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
6766trud 1329 . 2  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 )
684addid1i 9209 . 2  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6967, 68breqtri 4195 1  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  basellem9  20824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238
  Copyright terms: Public domain W3C validator