MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Unicode version

Theorem basellem7 20874
Description: Lemma for basel 20877. The function  1  +  A  x.  G for any fixed  A goes to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basellem7.2  |-  A  e.  CC
Assertion
Ref Expression
basellem7  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10526 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10316 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9053 . . . . 5  |-  1  e.  CC
51eqimss2i 3405 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
6 nnex 10011 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
75, 6climconst2 12347 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
84, 3, 7sylancr 646 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
9 ovex 6109 . . . . 5  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) )  e.  _V )
11 basellem7.2 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
125, 6climconst2 12347 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
1311, 3, 12sylancr 646 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
14 ovex 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  e. 
_V
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  e.  _V )
16 basel.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
1716basellem6 20873 . . . . . . 7  |-  G  ~~>  0
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
1911elexi 2967 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2019fconst 5632 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  { A }
) : NN --> { A }
2111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  A  e.  CC )
2221snssd 3945 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  { A }  C_  CC )
23 fss 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> { A }  /\  { A }  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2420, 22, 23sylancr 646 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2524ffvelrnda 5873 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  e.  CC )
26 2nn 10138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
28 nnmulcl 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
2927, 28sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
3029peano2nnd 10022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
3130nnrecred 10050 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
3231recnd 9119 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
3332, 16fmptd 5896 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G : NN --> CC )
3433ffvelrnda 5873 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
35 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC  ->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
3624, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
37 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( G : NN --> CC  ->  G  Fn  NN )
3833, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
396a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  NN  e.  _V )
40 inidm 3552 . . . . . . 7  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
41 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  k
) )
42 eqidd 2439 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
4336, 38, 39, 39, 40, 41, 42ofval 6317 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
) `  k )  x.  ( G `  k
) ) )
441, 3, 13, 15, 18, 25, 34, 43climmul 12431 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  ~~>  ( A  x.  0 ) )
4511mul01i 9261 . . . . 5  |-  ( A  x.  0 )  =  0
4644, 45syl6breq 4254 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  ~~>  0 )
47 1ex 9091 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
4847fconst 5632 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
494a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
5049snssd 3945 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  { 1 }  C_  CC )
51 fss 5602 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  CC )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5248, 50, 51sylancr 646 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5352ffvelrnda 5873 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  e.  CC )
54 mulcl 9079 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
5554adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5655, 24, 33, 39, 39, 40off 6323 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC )
5756ffvelrnda 5873 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  e.  CC )
5848a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 } )
59 ffn 5594 . . . . . 6  |-  ( ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
6058, 59syl 16 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
61 ffn 5594 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC  ->  (
( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  Fn  NN )
6256, 61syl 16 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  Fn  NN )
63 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  k ) )
64 eqidd 2439 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) `  k
) )
6560, 62, 39, 39, 40, 63, 64ofval 6317 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  k )  +  ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `  k ) ) )
661, 3, 8, 10, 46, 53, 57, 65climadd 12430 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
6766trud 1333 . 2  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 )
684addid1i 9258 . 2  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6967, 68breqtri 4238 1  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493    ~~> cli 12283
This theorem is referenced by:  basellem9  20876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288
  Copyright terms: Public domain W3C validator