MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Unicode version

Theorem basellem7 20324
Description: Lemma for basel 20327. The function  1  +  A  x.  G for any fixed  A goes to  1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basellem7.2  |-  A  e.  CC
Assertion
Ref Expression
basellem7  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables  k  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
51eqimss2i 3233 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
6 nnex 9752 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
75, 6climconst2 12022 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
84, 3, 7sylancr 644 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  ~~>  1 )
9 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  e. 
_V
109a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) )  e.  _V )
11 basellem7.2 . . . . . . 7  |-  A  e.  CC
125, 6climconst2 12022 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
1311, 3, 12sylancr 644 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } )  ~~>  A )
14 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  e. 
_V
1514a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  e.  _V )
16 basel.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
1716basellem6 20323 . . . . . . 7  |-  G  ~~>  0
1817a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
1911elexi 2797 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2019fconst 5427 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  { A }
) : NN --> { A }
2111a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  A  e.  CC )
2221snssd 3760 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  { A }  C_  CC )
23 fss 5397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> { A }  /\  { A }  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
2420, 22, 23sylancr 644 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN 
X.  { A }
) `  k )  e.  CC )
2624, 25sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  e.  CC )
27 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
2827a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
29 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
3028, 29sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
3130peano2nnd 9763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
3231nnrecred 9791 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
3332recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
3433, 16fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G : NN --> CC )
35 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( G : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k
)  e.  CC )
3634, 35sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
37 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  X.  { A } ) : NN --> CC  ->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
3824, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { A } )  Fn  NN )
39 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( G : NN --> CC  ->  G  Fn  NN )
4034, 39syl 15 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
416a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  NN  e.  _V )
42 inidm 3378 . . . . . . 7  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
43 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { A } ) `  k
)  =  ( ( NN  X.  { A } ) `  k
) )
44 eqidd 2284 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
4538, 40, 41, 41, 42, 43, 44ofval 6087 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
) `  k )  x.  ( G `  k
) ) )
461, 3, 13, 15, 18, 26, 36, 45climmul 12106 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  ~~>  ( A  x.  0 ) )
4711mul01i 9002 . . . . 5  |-  ( A  x.  0 )  =  0
4846, 47syl6breq 4062 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  ~~>  0 )
49 1ex 8833 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
5049fconst 5427 . . . . . 6  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
514a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
5251snssd 3760 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  { 1 }  C_  CC )
53 fss 5397 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  CC )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
5450, 52, 53sylancr 644 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
55 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  e.  CC )
5654, 55sylan 457 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  e.  CC )
57 mulcl 8821 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
5857adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
5958, 24, 34, 41, 41, 42off 6093 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC )
60 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) `  k
)  e.  CC )
6159, 60sylan 457 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  e.  CC )
6250a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 } )
63 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
6462, 63syl 15 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
65 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) : NN --> CC  ->  (
( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  Fn  NN )
6659, 65syl 15 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G )  Fn  NN )
67 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
1 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
1 } ) `  k ) )
68 eqidd 2284 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) `  k
) )
6964, 66, 41, 41, 42, 67, 68ofval 6087 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) ) `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { 1 } ) `  k )  +  ( ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) `  k ) ) )
701, 3, 8, 10, 48, 56, 61, 69climadd 12105 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { A } )  o F  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 ) )
7170trud 1314 . 2  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  ( 1  +  0 )
724addid1i 8999 . 2  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7371, 72breqtri 4046 1  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { A }
)  o F  x.  G ) )  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    ~~> cli 11958
This theorem is referenced by:  basellem9  20326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
  Copyright terms: Public domain W3C validator