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Theorem basellem8 20341
Description: Lemma for basel 20343. The function  F of partial sums of the inverse squares is bounded below by  J and above by  K, obtained by summing the inequality 
cot ^ 2 x  <_ 
1  /  x ^
2  <_  csc ^ 2 x  =  cot ^
2 x  +  1 over the  M roots of the polynomial  P, and applying the identity basellem5 20338. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) )
basellem8.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Distinct variable groups:    n, F    n, M    n, J    n, N
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables  k  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11051 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
2 pire 19848 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
3 basellem8.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
4 2nn 9893 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
5 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
64, 5mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
76peano2nnd 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
83, 7syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
9 nndivre 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( pi  /  N
)  e.  RR )
102, 8, 9sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  RR )
1110resqcld 11287 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  RR )
1211adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  RR )
133basellem1 20334 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
14 tanrpcl 19888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  e.  RR+ )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
1615rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
1715rpne0d 10411 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
18 2z 10070 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
19 znegcl 10071 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  -u 2  e.  ZZ
2120a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
2216, 17, 21reexpclzd 11286 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
2312, 22remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
24 elfznn 10835 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 1 ... M )  ->  k  e.  NN )
2524adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  NN )
2625nnred 9777 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR )
2725nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  =/=  0
)
2826, 27, 21reexpclzd 11286 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR )
2916recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
30 2nn0 9998 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
31 expneg 11127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
3229, 30, 31sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
3410recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi  /  N )  e.  CC )
3534sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  e.  CC )
3635adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  e.  CC )
37 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3815, 18, 37sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
3938rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
4039recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
4138rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
4236, 40, 41divrecd 9555 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
4333, 42eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
4425nnrpd 10405 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  RR+ )
45 rpexpcl 11138 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  -u 2  e.  ZZ )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR+ )
4644, 20, 45sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  RR+ )
47 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
4847negnegi 9132 . . . . . . . . . . 11  |-  -u -u 2  =  2
4948oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( k ^ -u -u 2
)  =  ( k ^ 2 )
5025nncnd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  k  e.  CC )
5150, 27, 21expnegd 11268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u -u 2 )  =  ( 1  /  (
k ^ -u 2
) ) )
5249, 51syl5reqr 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( k ^ 2 ) )
5352oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 1  /  ( k ^ -u 2 ) )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
54 nncn 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
55 nnne0 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
5620a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
5754, 55, 56expclzd 11266 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
5825, 57syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  e.  CC )
5950, 27, 21expne0d 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  =/=  0
)
6036, 58, 59divrec2d 9556 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( 1  /  (
k ^ -u 2
) )  x.  (
( pi  /  N
) ^ 2 ) ) )
612recni 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6261a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
638nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  CC )
648nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
6563, 64jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
67 divass 9458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  =  ( k  x.  ( pi  /  N ) ) )
6850, 62, 66, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  =  ( k  x.  ( pi 
/  N ) ) )
6968oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k  x.  (
pi  /  N )
) ^ 2 ) )
7034adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( pi  /  N )  e.  CC )
7150, 70sqmuld 11273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  ( pi  /  N ) ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7269, 71eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  =  ( ( k ^ 2 )  x.  ( ( pi  /  N ) ^ 2 ) ) )
7353, 60, 723eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  =  ( ( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) )
74 elioore 10702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7513, 74syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
7675resqcld 11287 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  e.  RR )
77 tangtx 19889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) )
7813, 77syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  <  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
79 eliooord 10726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( ( k  x.  pi )  /  N )  /\  (
( k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8013, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( ( k  x.  pi )  /  N
)  /\  ( (
k  x.  pi )  /  N )  < 
( pi  /  2
) ) )
8180simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8275, 81elrpd 10404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
8382rpge0d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  (
( k  x.  pi )  /  N ) )
8415rpge0d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
8575, 16, 83, 84lt2sqd 11295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  < 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <-> 
( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^ 2 )  <  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
8678, 85mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8776, 39, 86ltled 8983 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8873, 87eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( k ^ -u 2
) )  <_  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )
8912, 46, 38, 88lediv23d 10463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
9043, 89eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  ( k ^ -u 2 ) )
911, 23, 28, 90fsumle 12273 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 ) )
92 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  M  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  M ) )
9392oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 ) )
9493, 3syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  M  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N )
9594oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  M  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 1  /  N ) )
9695oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
9796oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  N ) ) ) )
9895oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
9998oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
10097, 99oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
101 basel.j . . . . . 6  |-  J  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )
102 nnex 9768 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
103102a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  NN  e.  _V )
104 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
105104a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
106 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
107106a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V )
108 basel.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )
1092resqcli 11205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
110 6re 9838 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR
111 6nn 9897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
112111nnne0i 9796 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  =/=  0
113109, 110, 112redivcli 9543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
114113a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR )
115 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
116115a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
117 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
118117a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
119 1z 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
120119a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
121 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e. 
_V
122121a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  _V )
123 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN 
X.  { 1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 )
124123a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  =  ( n  e.  NN  |->  1 ) )
125 basel.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
126125a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  G  =  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
127103, 120, 122, 124, 126offval2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
128103, 114, 116, 118, 127offval2 6111 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
129108, 128syl5eq 2340 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  H  =  (
n  e.  NN  |->  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
130 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
131130a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
13247negcli 9130 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
133132a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
134 fconstmpt 4748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u
2 )
135134a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  =  ( n  e.  NN  |->  -u 2 ) )
136103, 133, 122, 135, 126offval2 6111 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
137103, 120, 131, 124, 136offval2 6111 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
138103, 105, 107, 129, 137offval2 6111 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) ) )
139138trud 1314 . . . . . 6  |-  ( H  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  o F  x.  G ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) ) )
140101, 139eqtri 2316 . . . . 5  |-  J  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
141 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  e.  _V
142100, 140, 141fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  (
-u 2  x.  (
1  /  N ) ) ) ) )
143113recni 8865 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
144143a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC )
1456nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  CC )
146145, 63, 64divcld 9552 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  /  N )  e.  CC )
147 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
148 subcl 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  M )  -  1 )  e.  CC )
149145, 147, 148sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  -  1 )  e.  CC )
150149, 63, 64divcld 9552 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N )  e.  CC )
151144, 146, 150mulassd 8874 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
152147a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  1  e.  CC )
15363, 152, 63, 64divsubdird 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  -  ( 1  /  N
) ) )
1543oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )
155 pncan 9073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  M
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
156145, 147, 155sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
157154, 156syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( 2  x.  M ) )
158157oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
15963, 64dividd 9550 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
160159oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  -  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )
161153, 158, 1603eqtr3rd 2337 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  N ) )  =  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )
162161oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N
) ) )
163132a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  -u 2  e.  CC )
16463, 163, 63, 64divdird 9590 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( N  /  N )  +  ( -u 2  /  N ) ) )
165 negsub 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( N  +  -u
2 )  =  ( N  -  2 ) )
16663, 47, 165sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( N  - 
2 ) )
167 df-2 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1683, 167oveq12i 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  -  2 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  (
1  +  1 ) )
169145, 152, 152pnpcan2d 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
170168, 169syl5eq 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  -  2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
171166, 170eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  -u 2 )  =  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )
172171oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  -u
2 )  /  N
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
173163, 63, 64divrecd 9555 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( -u 2  /  N )  =  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) )
174159, 173oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( -u
2  /  N ) )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )
175164, 172, 1743eqtr3rd 2337 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( -u
2  x.  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )
176162, 175oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  - 
1 )  /  N
) ) )
1778nnsqcld 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  NN )
178177nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
179110recni 8865 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
180 mulcom 8839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  6  e.  CC )  ->  ( ( N ^
2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^
2 ) ) )
181178, 179, 180sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  x.  6 )  =  ( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) )
182181oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
183109recni 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi
^ 2 )  e.  CC
184183a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
pi ^ 2 )  e.  CC )
185145, 149mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  e.  CC )
186177nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =/=  0 )
187178, 186jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) )
188179, 112pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
189188a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )
190 divmuldiv 9476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
191184, 185, 187, 189, 190syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
192 divmuldiv 9476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
193184, 185, 189, 187, 192syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
194182, 191, 1933eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
19561a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
196195, 63, 64sqdivd 11274 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( pi  /  N
) ^ 2 )  =  ( ( pi
^ 2 )  / 
( N ^ 2 ) ) )
197196oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  ( N ^
2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
198145, 63, 149, 63, 64, 64divmuldivd 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
19963sqvald 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
200199oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
201198, 200eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
202201oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
203194, 197, 2023eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  /  N ) ) ) )
204151, 176, 2033eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
) ) )
205 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j ) ) )  x.  ( x ^
j ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( N  _C  ( 2  x.  j ) )  x.  ( -u 1 ^ ( M  -  j
) ) )  x.  ( x ^ j
) ) )
206 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( tan `  ( ( n  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )
2073, 205, 206basellem5 20338 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) )
208207oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 ) ) )
209204, 208eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( 1  /  N
) ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
21022recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
2111, 35, 210fsummulc2 12262 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
212142, 209, 2113eqtrd 2332 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
213 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
214 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
215 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
216213, 214, 215fvmpt 5618 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
21725, 216syl 15 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) `  k )  =  ( k ^ -u 2 ) )
218 id 19 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN )
219 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
220218, 219syl6eleq 2386 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
221217, 220, 58fsumser 12219 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `
 M ) )
222 basel.f . . . . 5  |-  F  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
223222fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( F `
 M )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) `  M
)
224221, 223syl6reqr 2347 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( k ^ -u 2
) )
22591, 212, 2243brtr4d 4069 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( J `  M )  <_  ( F `  M
) )
22675resincld 12439 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
227 sincosq1sgn 19882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  ->  ( 0  <  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
22813, 227syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /\  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
229228simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
230229gt0ne0d 9353 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
231226, 230, 21reexpclzd 11286 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  RR )
23212, 231remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  e.  RR )
233 sinltx 12485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  RR+  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
23482, 233syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
235226, 75, 234ltled 8983 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  <_  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )
236 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
237 ltle 8926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  -> 
0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ) )
238236, 226, 237sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 0  < 
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
239229, 238mpd 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <_  ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
240226, 75, 239, 83le2sqd 11296 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  <_  (
( k  x.  pi )  /  N )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( k  x.  pi )  /  N
) ^ 2 ) ) )
241235, 240mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( k  x.  pi )  /  N ) ^
2 ) )
242241, 73breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  <_  ( (
( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) )
243226resqcld 11287 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR )
244243, 12, 46lemuldiv2d 10452 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^
2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( k ^ -u 2 ) ) ) )
245226, 229elrpd 10404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+ )
246 rpexpcl 11138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
247245, 18, 246sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  RR+ )
24828, 12, 247lemuldivd 10451 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( k ^ -u 2
)  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  <_  ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
249244, 248bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
k ^ -u 2
) )  <->  ( k ^ -u 2 )  <_ 
( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
250242, 249mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
251226recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
252 expneg 11127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
253251, 30, 252sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
254253oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
255243recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
256247rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
25736, 255, 256divrecd 9555 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( 1  /  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
258254, 257eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( pi  /  N
) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) ) )
259250, 258breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( k ^ -u 2 )  <_  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
2601, 28, 232, 259fsumle 12273 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( k ^ -u 2 )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
26195oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
26297, 261oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( n  =  M  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
263 basel.k . . . . . 6  |-  K  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) )
264 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e. 
_V
265264a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V )
266103, 120, 122, 124, 126offval2 6111 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  +  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
267103, 105, 265, 129, 266offval2 6111 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
268267trud 1314 . . . . . 6  |-  ( H  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  +  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
269263, 268eqtri 2316 . . . . 5  |-  K  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  x.  (
1  +  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
270 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( 1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )  e. 
_V
271262, 269, 270fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  N
) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) ) )
272 peano2cn 9000 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
27363, 272syl 15 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
274273, 63, 64divcld 9552 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  e.  CC )
275144, 146, 274mulassd 8874 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( 2  x.  M
)  /  N ) )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  /  N )  x.  (
( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
27663, 152, 63, 64divdird 9590 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  N )  =  ( ( N  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
277159oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( N  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  ( 1  +  ( 1  /  N
) ) )
278276, 277eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1  +  ( 1  /  N ) )  =  ( ( N  +  1 )  /  N ) )
279162, 278oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( 2  x.  M )  /  N ) )  x.  ( ( N  + 
1 )  /  N
) ) )
280181oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  x.  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  ( ( N ^ 2 )  x.  6 ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
281145, 273mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
282 divmuldiv 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( ( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 )  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
283184, 281, 187, 189, 282syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( N ^ 2 )  x.  6 ) ) )
284 divmuldiv 9476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )  /\  ( ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  /\  (
( N ^ 2 )  e.  CC  /\  ( N ^ 2 )  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
285184, 281, 189, 187, 284syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^
2 ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  x.  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )  / 
( 6  x.  ( N ^ 2 ) ) ) )
286280, 283, 2853eqtr4d 2338 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) )  =  ( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
28775recoscld 12440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  RR )
288287recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC )
289288sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  e.  CC )
290255, 289, 255, 256divdird 9590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
29175recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC )
292 sincossq 12472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  x.  pi )  /  N )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
293291, 292syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
294293oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  /  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
295255, 256dividd 9550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
296228simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) )
297296gt0ne0d 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )
298 tanval 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( k  x.  pi )  /  N
)  e.  CC  /\  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 )  -> 
( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
299291, 297, 298syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) )  /  ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ) )
300299oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 ) )
301251, 288, 297sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  /  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
302300, 301eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
303302oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
304 sqne0 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) )  e.  CC  ->  (
( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
305288, 304syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  =/=  0  <->  ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) )  =/=  0 ) )
306297, 305mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  =/=  0 )
307255, 289, 256, 306recdivd 9569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ 2 )  /  ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( cos `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )
30832, 303, 3073eqtrrd 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )
309295, 308oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( cos `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 )  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) ) )
310290, 294, 3093eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  / 
( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
311 addcom 9014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  e.  CC )  -> 
( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
312147, 210, 311sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 1  +  ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) )  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
313253, 310, 3123eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
314313sumeq2dv 12192 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 ) )
315147a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  1  e.  CC )
3161, 210, 315fsumadd 12227 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( ( tan `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  1 )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 ) )
317 fsumconst 12268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  x.  1 ) )
3181, 147, 317sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  ( ( # `  (
1 ... M ) )  x.  1 ) )
319 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
320 hashfz1 11361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
321319, 320syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  M )
322321oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  x.  1 )  =  ( M  x.  1 ) )
323 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
324323mulid1d 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  x.  1 )  =  M )
325318, 322, 3243eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) 1  =  M )
326207, 325oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( tan `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) 1 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  M ) )
327314, 316, 3263eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
328 3cn 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
329328a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  3  e.  CC )
330145, 149, 329adddid 8875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) ) )
331 df-3 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
332331oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
333 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
33447, 147, 333mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
335332, 334, 1673eqtri 2320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
336335oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) )
337145, 152, 329subadd23d 9195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 3  -  1 ) ) )
338145, 152, 152addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  M )  +  ( 1  +  1 ) ) )
339336, 337, 3383eqtr4a 2354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 ) )
3403oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  M )  +  1 )  +  1 )
341339, 340syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  -  1 )  +  3 )  =  ( N  + 
1 ) )
342341oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  -  1 )  +  3 ) )  =  ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) ) )
34347a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  ->  2  e.  CC )
344343, 323, 329mul32d 9038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M ) )
345 3t2e6 9888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
346328, 47mulcomi 8859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
347345, 346eqtr3i 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
348347oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  x.  M )  =  ( ( 2  x.  3 )  x.  M
)
349344, 348syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  3 )  =  ( 6  x.  M ) )
350349oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  (
( 2  x.  M
)  -  1 ) )  +  ( ( 2  x.  M )  x.  3 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
351330, 342, 3503eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  - 
1 ) )  +  ( 6  x.  M
) ) )
352351oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  / 
6 ) )
353 mulcl 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 6  x.  M
)  e.  CC )
354179, 323, 353sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
6  x.  M )  e.  CC )
355179a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  e.  CC )
356112a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  6  =/=  0 )
357185, 354, 355, 356divdird 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  +  ( 6  x.  M ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  ( ( 6  x.  M )  /  6
) ) )
358323, 355, 356divcan3d 9557 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 6  x.  M
)  /  6 )  =  M )
359358oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  M )  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6
)  +  ( ( 6  x.  M )  /  6 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
360352, 357, 3593eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 )  =  ( ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( ( 2  x.  M )  -  1 ) )  /  6 )  +  M ) )
361327, 360eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  =  ( ( ( 2  x.  M
)  x.  ( N  +  1 ) )  /  6 ) )
362196, 361oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  ( N ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
6 ) ) )
363145, 63, 273, 63, 64, 64divmuldivd 9593 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
364199oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N  x.  N
) ) )
365363, 364eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  M )  /  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) )  =  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  + 
1 ) )  / 
( N ^ 2 ) ) )
366365oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  ( ( ( 2  x.  M )  x.  ( N  +  1 ) )  /  ( N ^ 2 ) ) ) )
367286, 362, 3663eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  x.  ( ( ( 2  x.  M
)  /  N )  x.  ( ( N  +  1 )  /  N ) ) ) )
368275, 279, 3673eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( ( pi
^ 2 )  / 
6 )  x.  (
1  -  ( 1  /  N ) ) )  x.  ( 1  +  ( 1  /  N ) ) )  =  ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
369231recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
)  e.  CC )
3701, 35, 369fsummulc2 12262 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  ( 1 ... M
) ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N
) ) ^ -u 2
) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi  /  N ) ^ 2 )  x.  ( ( sin `  ( ( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
371271, 368, 3703eqtrd 2332 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( K `  M )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... M ) ( ( ( pi 
/  N ) ^
2 )  x.  (
( sin `  (
( k  x.  pi )  /  N ) ) ^ -u 2 ) ) )
372260, 224, 3713brtr4d 4069 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) )
373225, 372jca 518 1  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( J `  M
)  <_  ( F `  M )  /\  ( F `  M )  <_  ( K `  M
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   6c6 9815   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120    _C cbc 11331   #chash 11353   sum_csu 12174   sincsin 12361   cosccos 12362   tanctan 12363   picpi 12364
This theorem is referenced by:  basellem9  20342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687
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