Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem8 Structured version   Unicode version

Theorem basellem8 20862
 Description: Lemma for basel 20864. The function of partial sums of the inverse squares is bounded below by and above by , obtained by summing the inequality over the roots of the polynomial , and applying the identity basellem5 20859. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g
basel.f
basel.h
basel.j
basel.k
basellem8.n
Assertion
Ref Expression
basellem8
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem basellem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11304 . . . 4
2 pire 20364 . . . . . . . 8
3 basellem8.n . . . . . . . . 9
4 2nn 10125 . . . . . . . . . . 11
5 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . 11
64, 5mpan 652 . . . . . . . . . 10
76peano2nnd 10009 . . . . . . . . 9
83, 7syl5eqel 2519 . . . . . . . 8
9 nndivre 10027 . . . . . . . 8
102, 8, 9sylancr 645 . . . . . . 7
1110resqcld 11541 . . . . . 6
1211adantr 452 . . . . 5
133basellem1 20855 . . . . . . . 8
14 tanrpcl 20404 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7
1615rpred 10640 . . . . . 6
1715rpne0d 10645 . . . . . 6
18 2z 10304 . . . . . . . 8
19 znegcl 10305 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 8 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
2216, 17, 21reexpclzd 11540 . . . . 5
2312, 22remulcld 9108 . . . 4
24 elfznn 11072 . . . . . . 7
2524adantl 453 . . . . . 6
2625nnred 10007 . . . . 5
2725nnne0d 10036 . . . . 5
2826, 27, 21reexpclzd 11540 . . . 4
2916recnd 9106 . . . . . . . 8
30 2nn0 10230 . . . . . . . 8
31 expneg 11381 . . . . . . . 8
3229, 30, 31sylancl 644 . . . . . . 7
3332oveq2d 6089 . . . . . 6
3410recnd 9106 . . . . . . . . 9
3534sqcld 11513 . . . . . . . 8
3635adantr 452 . . . . . . 7
37 rpexpcl 11392 . . . . . . . . . 10
3815, 18, 37sylancl 644 . . . . . . . . 9
3938rpred 10640 . . . . . . . 8
4039recnd 9106 . . . . . . 7
4138rpne0d 10645 . . . . . . 7
4236, 40, 41divrecd 9785 . . . . . 6
4333, 42eqtr4d 2470 . . . . 5
4425nnrpd 10639 . . . . . . 7
45 rpexpcl 11392 . . . . . . 7
4644, 20, 45sylancl 644 . . . . . 6
47 2cn 10062 . . . . . . . . . . . 12
4847negnegi 9362 . . . . . . . . . . 11
4948oveq2i 6084 . . . . . . . . . 10
5025nncnd 10008 . . . . . . . . . . 11
5150, 27, 21expnegd 11522 . . . . . . . . . 10
5249, 51syl5reqr 2482 . . . . . . . . 9
5352oveq1d 6088 . . . . . . . 8
54 nncn 10000 . . . . . . . . . . 11
55 nnne0 10024 . . . . . . . . . . 11
5620a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5754, 55, 56expclzd 11520 . . . . . . . . . 10
5825, 57syl 16 . . . . . . . . 9
5950, 27, 21expne0d 11521 . . . . . . . . 9
6036, 58, 59divrec2d 9786 . . . . . . . 8
612recni 9094 . . . . . . . . . . . 12
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11
638nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . 13
648nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64jca 519 . . . . . . . . . . . 12
6665adantr 452 . . . . . . . . . . 11
67 divass 9688 . . . . . . . . . . 11
6850, 62, 66, 67syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
6968oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
7034adantr 452 . . . . . . . . . 10
7150, 70sqmuld 11527 . . . . . . . . 9
7269, 71eqtrd 2467 . . . . . . . 8
7353, 60, 723eqtr4d 2477 . . . . . . 7
74 elioore 10938 . . . . . . . . . 10
7513, 74syl 16 . . . . . . . . 9
7675resqcld 11541 . . . . . . . 8
77 tangtx 20405 . . . . . . . . . 10
7813, 77syl 16 . . . . . . . . 9
79 eliooord 10962 . . . . . . . . . . . . . 14
8013, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8180simpld 446 . . . . . . . . . . . 12
8275, 81elrpd 10638 . . . . . . . . . . 11
8382rpge0d 10644 . . . . . . . . . 10
8415rpge0d 10644 . . . . . . . . . 10
8575, 16, 83, 84lt2sqd 11549 . . . . . . . . 9
8678, 85mpbid 202 . . . . . . . 8
8776, 39, 86ltled 9213 . . . . . . 7
8873, 87eqbrtrd 4224 . . . . . 6
8912, 46, 38, 88lediv23d 10697 . . . . 5
9043, 89eqbrtrd 4224 . . . 4
911, 23, 28, 90fsumle 12570 . . 3
92 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
9392oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10
9493, 3syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
9594oveq2d 6089 . . . . . . . 8
9695oveq2d 6089 . . . . . . 7
9796oveq2d 6089 . . . . . 6
9895oveq2d 6089 . . . . . . 7
9998oveq2d 6089 . . . . . 6
10097, 99oveq12d 6091 . . . . 5
101 basel.j . . . . . 6
102 nnex 9998 . . . . . . . . 9
103102a1i 11 . . . . . . . 8
104 ovex 6098 . . . . . . . . 9
105104a1i 11 . . . . . . . 8
106 ovex 6098 . . . . . . . . 9
107106a1i 11 . . . . . . . 8
108 basel.h . . . . . . . . 9
1092resqcli 11459 . . . . . . . . . . . 12
110 6re 10068 . . . . . . . . . . . 12
111 6nn 10129 . . . . . . . . . . . . 13
112111nnne0i 10026 . . . . . . . . . . . 12
113109, 110, 112redivcli 9773 . . . . . . . . . . 11
114113a1i 11 . . . . . . . . . 10
115 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
116115a1i 11 . . . . . . . . . 10
117 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . 11
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10
119 1z 10303 . . . . . . . . . . . 12
120119a1i 11 . . . . . . . . . . 11
121 ovex 6098 . . . . . . . . . . . 12
122121a1i 11 . . . . . . . . . . 11
123 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . . 12
124123a1i 11 . . . . . . . . . . 11
125 basel.g . . . . . . . . . . . 12
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11
127103, 120, 122, 124, 126offval2 6314 . . . . . . . . . 10
128103, 114, 116, 118, 127offval2 6314 . . . . . . . . 9
129108, 128syl5eq 2479 . . . . . . . 8
130 ovex 6098 . . . . . . . . . 10
131130a1i 11 . . . . . . . . 9
13247negcli 9360 . . . . . . . . . . 11
133132a1i 11 . . . . . . . . . 10
134 fconstmpt 4913 . . . . . . . . . . 11
135134a1i 11 . . . . . . . . . 10
136103, 133, 122, 135, 126offval2 6314 . . . . . . . . 9
137103, 120, 131, 124, 136offval2 6314 . . . . . . . 8
138103, 105, 107, 129, 137offval2 6314 . . . . . . 7
139138trud 1332 . . . . . 6
140101, 139eqtri 2455 . . . . 5
141 ovex 6098 . . . . 5
142100, 140, 141fvmpt 5798 . . . 4
143113recni 9094 . . . . . . . 8
144143a1i 11 . . . . . . 7
1456nncnd 10008 . . . . . . . 8
146145, 63, 64divcld 9782 . . . . . . 7
147 ax-1cn 9040 . . . . . . . . 9
148 subcl 9297 . . . . . . . . 9
149145, 147, 148sylancl 644 . . . . . . . 8
150149, 63, 64divcld 9782 . . . . . . 7
151144, 146, 150mulassd 9103 . . . . . 6
152147a1i 11 . . . . . . . . . 10
15363, 152, 63, 64divsubdird 9821 . . . . . . . . 9
1543oveq1i 6083 . . . . . . . . . . 11
155 pncan 9303 . . . . . . . . . . . 12
156145, 147, 155sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
157154, 156syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10
158157oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
15963, 64dividd 9780 . . . . . . . . . 10
160159oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
161153, 158, 1603eqtr3rd 2476 . . . . . . . 8
162161oveq2d 6089 . . . . . . 7
163132a1i 11 . . . . . . . . 9
16463, 163, 63, 64divdird 9820 . . . . . . . 8
165 negsub 9341 . . . . . . . . . . 11
16663, 47, 165sylancl 644 . . . . . . . . . 10
167 df-2 10050 . . . . . . . . . . . 12
1683, 167oveq12i 6085 . . . . . . . . . . 11
169145, 152, 152pnpcan2d 9441 . . . . . . . . . . 11
170168, 169syl5eq 2479 . . . . . . . . . 10
171166, 170eqtrd 2467 . . . . . . . . 9
172171oveq1d 6088 . . . . . . . 8
173163, 63, 64divrecd 9785 . . . . . . . . 9
174159, 173oveq12d 6091 . . . . . . . 8
175164, 172, 1743eqtr3rd 2476 . . . . . . 7
176162, 175oveq12d 6091 . . . . . 6
1778nnsqcld 11535 . . . . . . . . . . 11
178177nncnd 10008 . . . . . . . . . 10
179110recni 9094 . . . . . . . . . 10
180 mulcom 9068 . . . . . . . . . 10
181178, 179, 180sylancl 644 . . . . . . . . 9
182181oveq2d 6089 . . . . . . . 8
183109recni 9094 . . . . . . . . . 10
184183a1i 11 . . . . . . . . 9
185145, 149mulcld 9100 . . . . . . . . 9
186177nnne0d 10036 . . . . . . . . . 10
187178, 186jca 519 . . . . . . . . 9
188179, 112pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10
189188a1i 11 . . . . . . . . 9
190 divmuldiv 9706 . . . . . . . . 9
191184, 185, 187, 189, 190syl22anc 1185 . . . . . . . 8
192 divmuldiv 9706 . . . . . . . . 9
193184, 185, 189, 187, 192syl22anc 1185 . . . . . . . 8
194182, 191, 1933eqtr4d 2477 . . . . . . 7
19561a1i 11 . . . . . . . . 9
196195, 63, 64sqdivd 11528 . . . . . . . 8
197196oveq1d 6088 . . . . . . 7
198145, 63, 149, 63, 64, 64divmuldivd 9823 . . . . . . . . 9
19963sqvald 11512 . . . . . . . . . 10
200199oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
201198, 200eqtr4d 2470 . . . . . . . 8
202201oveq2d 6089 . . . . . . 7
203194, 197, 2023eqtr4d 2477 . . . . . 6
204151, 176, 2033eqtr4d 2477 . . . . 5
205 eqid 2435 . . . . . . 7
206 eqid 2435 . . . . . . 7
2073, 205, 206basellem5 20859 . . . . . 6
208207oveq2d 6089 . . . . 5
209204, 208eqtr4d 2470 . . . 4
21022recnd 9106 . . . . 5
2111, 35, 210fsummulc2 12559 . . . 4
212142, 209, 2113eqtrd 2471 . . 3
213 oveq1 6080 . . . . . . 7
214 eqid 2435 . . . . . . 7
215 ovex 6098 . . . . . . 7
216213, 214, 215fvmpt 5798 . . . . . 6
21725, 216syl 16 . . . . 5
218 id 20 . . . . . 6
219 nnuz 10513 . . . . . 6
220218, 219syl6eleq 2525 . . . . 5
221217, 220, 58fsumser 12516 . . . 4
222 basel.f . . . . 5
223222fveq1i 5721 . . . 4
224221, 223syl6reqr 2486 . . 3
22591, 212, 2243brtr4d 4234 . 2
22675resincld 12736 . . . . . 6
227 sincosq1sgn 20398 . . . . . . . . 9
22813, 227syl 16 . . . . . . . 8
229228simpld 446 . . . . . . 7
230229gt0ne0d 9583 . . . . . 6
231226, 230, 21reexpclzd 11540 . . . . 5
23212, 231remulcld 9108 . . . 4
233 sinltx 12782 . . . . . . . . . 10
23482, 233syl 16 . . . . . . . . 9
235226, 75, 234ltled 9213 . . . . . . . 8
236 0re 9083 . . . . . . . . . . 11
237 ltle 9155 . . . . . . . . . . 11
238236, 226, 237sylancr 645 . . . . . . . . . 10
239229, 238mpd 15 . . . . . . . . 9
240226, 75, 239, 83le2sqd 11550 . . . . . . . 8
241235, 240mpbid 202 . . . . . . 7
242241, 73breqtrrd 4230 . . . . . 6
243226resqcld 11541 . . . . . . . 8
244243, 12, 46lemuldiv2d 10686 . . . . . . 7
245226, 229elrpd 10638 . . . . . . . . 9
246 rpexpcl 11392 . . . . . . . . 9
247245, 18, 246sylancl 644 . . . . . . . 8
24828, 12, 247lemuldivd 10685 . . . . . . 7
249244, 248bitr3d 247 . . . . . 6
250242, 249mpbid 202 . . . . 5
251226recnd 9106 . . . . . . . 8
252 expneg 11381 . . . . . . . 8
253251, 30, 252sylancl 644 . . . . . . 7
254253oveq2d 6089 . . . . . 6
255243recnd 9106 . . . . . . 7
256247rpne0d 10645 . . . . . . 7
25736, 255, 256divrecd 9785 . . . . . 6
258254, 257eqtr4d 2470 . . . . 5
259250, 258breqtrrd 4230 . . . 4
2601, 28, 232, 259fsumle 12570 . . 3
26195oveq2d 6089 . . . . . 6
26297, 261oveq12d 6091 . . . . 5
263 basel.k . . . . . 6
264 ovex 6098 . . . . . . . . 9
265264a1i 11 . . . . . . . 8
266103, 120, 122, 124, 126offval2 6314 . . . . . . . 8
267103, 105, 265, 129, 266offval2 6314 . . . . . . 7
268267trud 1332 . . . . . 6
269263, 268eqtri 2455 . . . . 5
270 ovex 6098 . . . . 5
271262, 269, 270fvmpt 5798 . . . 4
272 peano2cn 9230 . . . . . . . 8
27363, 272syl 16 . . . . . . 7
274273, 63, 64divcld 9782 . . . . . 6
275144, 146, 274mulassd 9103 . . . . 5
27663, 152, 63, 64divdird 9820 . . . . . . 7
277159oveq1d 6088 . . . . . . 7
278276, 277eqtr2d 2468 . . . . . 6
279162, 278oveq12d 6091 . . . . 5
280181oveq2d 6089 . . . . . . 7
281145, 273mulcld 9100 . . . . . . . 8
282 divmuldiv 9706 . . . . . . . 8
283184, 281, 187, 189, 282syl22anc 1185 . . . . . . 7
284 divmuldiv 9706 . . . . . . . 8
285184, 281, 189, 187, 284syl22anc 1185 . . . . . . 7
286280, 283, 2853eqtr4d 2477 . . . . . 6
28775recoscld 12737 . . . . . . . . . . . . . . 15
288287recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
289288sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . 13
290255, 289, 255, 256divdird 9820 . . . . . . . . . . . 12
29175recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
292 sincossq 12769 . . . . . . . . . . . . . 14
293291, 292syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
294293oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12
295255, 256dividd 9780 . . . . . . . . . . . . 13
296228simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
297296gt0ne0d 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
298 tanval 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
299291, 297, 298syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
300299oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . 16
301251, 288, 297sqdivd 11528 . . . . . . . . . . . . . . . 16
302300, 301eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
303302oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
304 sqne0 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
305288, 304syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
306297, 305mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15
307255, 289, 256, 306recdivd 9799 . . . . . . . . . . . . . 14
30832, 303, 3073eqtrrd 2472 . . . . . . . . . . . . 13
309295, 308oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . 12
310290, 294, 3093eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11
311 addcom 9244 . . . . . . . . . . . 12
312147, 210, 311sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
313253, 310, 3123eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10
314313sumeq2dv 12489 . . . . . . . . 9
315147a1i 11 . . . . . . . . . 10
3161, 210, 315fsumadd 12524 . . . . . . . . 9
317 fsumconst 12565 . . . . . . . . . . . 12
3181, 147, 317sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
319 nnnn0 10220 . . . . . . . . . . . . 13
320 hashfz1 11622 . . . . . . . . . . . . 13
321319, 320syl 16 . . . . . . . . . . . 12
322321oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
323 nncn 10000 . . . . . . . . . . . 12
324323mulid1d 9097 . . . . . . . . . . 11
325318, 322, 3243eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10
326207, 325oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
327314, 316, 3263eqtrd 2471 . . . . . . . 8
328 3cn 10064 . . . . . . . . . . . . 13
329328a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
330145, 149, 329adddid 9104 . . . . . . . . . . 11
331 df-3 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
332331oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . 16
333 pncan 9303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33447, 147, 333mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16
335332, 334, 1673eqtri 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15
336335oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . 14
337145, 152, 329subadd23d 9425 . . . . . . . . . . . . . 14
338145, 152, 152addassd 9102 . . . . . . . . . . . . . 14
339336, 337, 3383eqtr4a 2493 . . . . . . . . . . . . 13
3403oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . 13
341339, 340syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12
342341oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
34347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
344343, 323, 329mul32d 9268 . . . . . . . . . . . . 13
345 3t2e6 10120 . . . . . . . . . . . . . . 15
346328, 47mulcomi 9088 . . . . . . . . . . . . . . 15
347345, 346eqtr3i 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
348347oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . 13
349344, 348syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12
350349oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
351330, 342, 3503eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10
352351oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
353 mulcl 9066 . . . . . . . . . . 11
354179, 323, 353sylancr 645 . . . . . . . . . 10
355179a1i 11 . . . . . . . . . 10
356112a1i 11 . . . . . . . . . 10
357185, 354, 355, 356divdird 9820 . . . . . . . . 9
358323, 355, 356divcan3d 9787 . . . . . . . . . 10
359358oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
360352, 357, 3593eqtrd 2471 . . . . . . . 8
361327, 360eqtr4d 2470 . . . . . . 7
362196, 361oveq12d 6091 . . . . . 6
363145, 63, 273, 63, 64, 64divmuldivd 9823 . . . . . . . 8
364199oveq2d 6089 . . . . . . . 8
365363, 364eqtr4d 2470 . . . . . . 7
366365oveq2d 6089 . . . . . 6
367286, 362, 3663eqtr4d 2477 . . . . 5
368275, 279, 3673eqtr4d 2477 . . . 4
369231recnd 9106 . . . . 5
3701, 35, 369fsummulc2 12559 . . . 4
371271, 368, 3703eqtrd 2471 . . 3
372260, 224, 3713brtr4d 4234 . 2
373225, 372jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wtru 1325   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  cvv 2948  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295  cfn 7101  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  c3 10042  c6 10045  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cioo 10908  cfz 11035   cseq 11315  cexp 11374   cbc 11585  chash 11610  csu 12471  csin 12658  ccos 12659  ctan 12660  cpi 12661 This theorem is referenced by:  basellem9  20863 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-0p 19554  df-limc 19745  df-dv 19746  df-ply 20099  df-idp 20100  df-coe 20101  df-dgr 20102  df-quot 20200
 Copyright terms: Public domain W3C validator