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Theorem basellem9 20861
 Description: Lemma for basel 20862. Since by basellem8 20860 is bounded by two expressions that tend to , must also go to by the squeeze theorem climsqz 12424. But the series is exactly the partial sums of , so it follows that this is also the value of the infinite sum . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g
basel.f
basel.h
basel.j
basel.k
Assertion
Ref Expression
basellem9
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10511 . . 3
2 1z 10301 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 oveq1 6080 . . . . 5
5 eqid 2435 . . . . 5
6 ovex 6098 . . . . 5
74, 5, 6fvmpt 5798 . . . 4
9 nnre 9997 . . . . . . . . 9
10 nnne0 10022 . . . . . . . . 9
11 2z 10302 . . . . . . . . . . 11
12 znegcl 10303 . . . . . . . . . . 11
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
1413a1i 11 . . . . . . . . 9
159, 10, 14reexpclzd 11538 . . . . . . . 8
1615adantl 453 . . . . . . 7
1716, 5fmptd 5885 . . . . . 6
1817ffvelrnda 5862 . . . . 5
198, 18eqeltrrd 2510 . . . 4
2019recnd 9104 . . 3
211, 3, 18serfre 11342 . . . . . . . . . . 11
22 basel.f . . . . . . . . . . . 12
2322feq1i 5577 . . . . . . . . . . 11
2421, 23sylibr 204 . . . . . . . . . 10
2524ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
2625recnd 9104 . . . . . . . 8
27 remulcl 9065 . . . . . . . . . . . . 13
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
29 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029fconst 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 pire 20362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3231resqcli 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 6re 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34 6nn 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534nnne0i 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3632, 33, 35redivcli 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3837snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15
4030, 38, 39sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
41 resubcl 9355 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 1ex 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443fconst 5621 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45 1re 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4746snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4944, 47, 48sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
50 2nn 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52 nnmulcl 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5351, 52sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5453peano2nnd 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5554nnrecred 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16
5755, 56fmptd 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 nnex 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 inidm 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15
6142, 49, 57, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . . . . 14
6228, 40, 61, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . . . 13
63 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14
6463feq1i 5577 . . . . . . . . . . . . 13
6562, 64sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12
66 readdcl 9063 . . . . . . . . . . . . . 14
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
6813elexi 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968fconst 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15
7013zrei 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15
7469, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
7528, 74, 57, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . . . 13
7667, 49, 75, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . . 12
7728, 65, 76, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . 11
78 basel.j . . . . . . . . . . . 12
7978feq1i 5577 . . . . . . . . . . 11
8077, 79sylibr 204 . . . . . . . . . 10
8180ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
8281recnd 9104 . . . . . . . 8
8326, 82npcand 9405 . . . . . . 7
8483mpteq2dva 4287 . . . . . 6
85 ovex 6098 . . . . . . . 8
8685a1i 11 . . . . . . 7
8724feqmptd 5771 . . . . . . . 8
8880feqmptd 5771 . . . . . . . 8
8959, 25, 81, 87, 88offval2 6314 . . . . . . 7
9059, 86, 81, 89, 88offval2 6314 . . . . . 6
9184, 90, 873eqtr4d 2477 . . . . 5
9267, 49, 57, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . 10
93 recn 9070 . . . . . . . . . . . 12
94 recn 9070 . . . . . . . . . . . 12
95 recn 9070 . . . . . . . . . . . 12
96 subdi 9457 . . . . . . . . . . . 12
9793, 94, 95, 96syl3an 1226 . . . . . . . . . . 11
9897adantl 453 . . . . . . . . . 10
9959, 65, 92, 76, 98caofdi 6332 . . . . . . . . 9
100 basel.k . . . . . . . . . 10
101100, 78oveq12i 6085 . . . . . . . . 9
10299, 101syl6eqr 2485 . . . . . . . 8
10336recni 9092 . . . . . . . . . . . . . 14
1041eqimss2i 3395 . . . . . . . . . . . . . . 15
105104, 58climconst2 12332 . . . . . . . . . . . . . 14
106103, 3, 105sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
107 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
109 ax-resscn 9037 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11149, 109, 110sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
112 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11357, 109, 112sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
114 ofnegsub 9988 . . . . . . . . . . . . . . 15
11559, 111, 113, 114syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
116 neg1cn 10057 . . . . . . . . . . . . . . 15
11756, 116basellem7 20859 . . . . . . . . . . . . . 14
118115, 117syl6eqbrr 4242 . . . . . . . . . . . . 13
11940ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14
120119recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13
12161ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . 14
122121recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13
123 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . 15
12440, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
125 fnconstg 5623 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1263, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12857, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
129126, 128, 59, 59, 60offn 6308 . . . . . . . . . . . . . 14
130 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
131 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
132124, 129, 59, 59, 60, 130, 131ofval 6306 . . . . . . . . . . . . 13
1331, 3, 106, 108, 118, 120, 122, 132climmul 12416 . . . . . . . . . . . 12
134103mulid1i 9082 . . . . . . . . . . . 12
135133, 134syl6breq 4243 . . . . . . . . . . 11
13663, 135syl5eqbr 4237 . . . . . . . . . 10
137 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10
139 3cn 10062 . . . . . . . . . . . . 13
140104, 58climconst2 12332 . . . . . . . . . . . . 13
141139, 3, 140sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
142 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
14456basellem6 20858 . . . . . . . . . . . . 13
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
146 3re 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147146elexi 2957 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148147fconst 5621 . . . . . . . . . . . . . . 15
149146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
150149snssd 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15
151 fss 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15
152148, 150, 151sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14
153152ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13
154153recnd 9104 . . . . . . . . . . . 12
15557ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13
156155recnd 9104 . . . . . . . . . . . 12
157 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14
158152, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
159 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13
160 eqidd 2436 . . . . . . . . . . . . 13
161158, 128, 59, 59, 60, 159, 160ofval 6306 . . . . . . . . . . . 12
1621, 3, 141, 143, 145, 154, 156, 161climmul 12416 . . . . . . . . . . 11
163139mul01i 9246 . . . . . . . . . . 11
164162, 163syl6breq 4243 . . . . . . . . . 10
16565ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11
166165recnd 9104 . . . . . . . . . 10
16728, 152, 57, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . . 12
168167ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11
169168recnd 9104 . . . . . . . . . 10
170 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12
17165, 170syl 16 . . . . . . . . . . 11
17242, 92, 76, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . . . 12
173 ffn 5583 . . . . . . . . . . . 12
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . 11
175 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11
176156mulid2d 9096 . . . . . . . . . . . . . . 15
177 2cn 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178 mulneg1 9460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179177, 156, 178sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180179negeqd 9290 . . . . . . . . . . . . . . . 16
181 mulcl 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
182177, 156, 181sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
183182negnegd 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184180, 183eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15
185176, 184oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14
186 remulcl 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18770, 155, 186sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188187recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . 15
189156, 188negsubd 9407 . . . . . . . . . . . . . 14
190185, 189eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
191 df-3 10049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
192 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
193177, 192addcomi 9247 . . . . . . . . . . . . . . . 16
194191, 193eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15
195194oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . 14
196192a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
197177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
198196, 197, 156adddird 9103 . . . . . . . . . . . . . 14
199195, 198syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13
200196, 156, 188pnpcand 9438 . . . . . . . . . . . . 13
201190, 199, 2003eqtr4rd 2478 . . . . . . . . . . . 12
202126, 128, 59, 59, 60offn 6308 . . . . . . . . . . . . 13
20313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
204 fnconstg 5623 . . . . . . . . . . . . . . . 16
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
206205, 128, 59, 59, 60offn 6308 . . . . . . . . . . . . . 14
207126, 206, 59, 59, 60offn 6308 . . . . . . . . . . . . 13
20859, 46, 128, 160ofc1 6319 . . . . . . . . . . . . 13
20959, 71, 128, 160ofc1 6319 . . . . . . . . . . . . . 14
21059, 46, 206, 209ofc1 6319 . . . . . . . . . . . . 13
211202, 207, 59, 59, 60, 208, 210ofval 6306 . . . . . . . . . . . 12
21259, 149, 128, 160ofc1 6319 . . . . . . . . . . . 12
213201, 211, 2123eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . 11
214171, 174, 59, 59, 60, 175, 213ofval 6306 . . . . . . . . . 10
2151, 3, 136, 138, 164, 166, 169, 214climmul 12416 . . . . . . . . 9
216103mul01i 9246 . . . . . . . . 9
217215, 216syl6breq 4243 . . . . . . . 8
218102, 217eqbrtrrd 4226 . . . . . . 7
219 ovex 6098 . . . . . . . 8
220219a1i 11 . . . . . . 7
22128, 65, 92, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . . . 10
222100feq1i 5577 . . . . . . . . . 10
223221, 222sylibr 204 . . . . . . . . 9
22442, 223, 80, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . 8
225224ffvelrnda 5862 . . . . . . 7
22642, 24, 80, 59, 59, 60off 6312 . . . . . . . 8
227226ffvelrnda 5862 . . . . . . 7
22824ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
229223ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
23080ffvelrnda 5862 . . . . . . . . 9
231 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
23256, 22, 63, 78, 100, 231basellem8 20860 . . . . . . . . . . 11
233232adantl 453 . . . . . . . . . 10
234233simprd 450 . . . . . . . . 9
235228, 229, 230, 234lesub1dd 9632 . . . . . . . 8
236 ffn 5583 . . . . . . . . . 10
23724, 236syl 16 . . . . . . . . 9
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