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Theorem basellem9 20342
Description: Lemma for basel 20343. Since by basellem8 20341 
F is bounded by two expressions that tend to  pi ^ 2  / 
6,  F must also go to  pi ^ 2  /  6 by the squeeze theorem climsqz 12130. But the series  F is exactly the partial sums of 
k ^ -u 2, so it follows that this is also the value of the infinite sum  sum_ k  e.  NN ( k ^ -u 2
). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
basel.f  |-  F  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
basel.h  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )
basel.j  |-  J  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )
basel.k  |-  K  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) )
Assertion
Ref Expression
basellem9  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Distinct variable groups:    k, n, F    k, G    k, H    k, J, n    k, K
Allowed substitution hints:    G( n)    H( n)    K( n)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  (
n ^ -u 2
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
5 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) )
6 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( k ^ -u 2 )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
87adantl 452 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  =  ( k ^ -u 2 ) )
9 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
10 nnne0 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
11 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
12 znegcl 10071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  -u 2  e.  ZZ )
1311, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  -u 2  e.  ZZ
1413a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 2  e.  ZZ )
159, 10, 14reexpclzd 11286 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1615adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
n ^ -u 2
)  e.  RR )
1716, 5fmptd 5700 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) : NN --> RR )
18 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) `  k )  e.  RR )
1917, 18sylan 457 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) `  k
)  e.  RR )
208, 19eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  RR )
2120recnd 8877 . . 3  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k ^ -u 2
)  e.  CC )
221, 3, 19serfre 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) ) : NN --> RR )
23 basel.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )
2423feq1i 5399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> RR  <->  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2
) ) ) : NN --> RR )
2522, 24sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  F : NN --> RR )
26 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
2725, 26sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
2827recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  CC )
29 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3029adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
31 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e. 
_V
3231fconst 5443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }
33 pire 19848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  pi  e.  RR
3433resqcli 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( pi
^ 2 )  e.  RR
35 6re 9838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  e.  RR
36 6nn 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  6  e.  NN
3736nnne0i 9796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =/=  0
3834, 35, 37redivcli 9543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  RR
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  RR )
4039snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) }  C_  RR )
41 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) }  /\  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
4232, 40, 41sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR )
43 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  -  y
)  e.  RR )
4443adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  RR )
45 1ex 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  _V
4645fconst 5443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( NN 
X.  { 1 } ) : NN --> { 1 }
47 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
4948snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  { 1 }  C_  RR )
50 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> { 1 }  /\  { 1 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
5146, 49, 50sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR )
52 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  2  e.  NN )
54 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
5553, 54sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
5655peano2nnd 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
5756nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
58 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
5957, 58fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  G : NN --> RR )
60 nnex 9768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  e.  _V
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  NN  e.  _V )
62 inidm 3391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
6344, 51, 59, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
) : NN --> RR )
6430, 42, 63, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) ) : NN --> RR )
65 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )
6665feq1i 5399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H : NN --> RR  <->  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
) ) : NN --> RR )
6764, 66sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  H : NN --> RR )
68 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
6968adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  +  y )  e.  RR )
7013elexi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 2  e.  _V
7170fconst 5443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }
7213zrei 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 2  e.  RR
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  -u 2  e.  RR )
7473snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  { -u 2 } 
C_  RR )
75 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> { -u 2 }  /\  { -u 2 }  C_  RR )  -> 
( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7671, 74, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } ) : NN --> RR )
7730, 76, 59, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) : NN --> RR )
7869, 51, 77, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) : NN --> RR )
7930, 67, 78, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
80 basel.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )
8180feq1i 5399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J : NN --> RR  <->  ( H  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  o F  x.  G ) ) ) : NN --> RR )
8279, 81sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  J : NN --> RR )
83 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : NN --> RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n
)  e.  RR )
8482, 83sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  RR )
8584recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  ( J `  n )  e.  CC )
8628, 85npcand 9177 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( F `  n )  -  ( J `  n )
)  +  ( J `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
8786mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `
 n )  -  ( J `  n ) )  +  ( J `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( F `
 n ) ) )
88 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  -  ( J `  n ) )  e. 
_V
8988a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  e.  _V )
9025feqmptd 5591 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  F  =  (
n  e.  NN  |->  ( F `  n ) ) )
9182feqmptd 5591 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  J  =  (
n  e.  NN  |->  ( J `  n ) ) )
9261, 27, 84, 90, 91offval2 6111 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( F  o F  -  J )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n )  -  ( J `  n )
) ) )
9361, 89, 84, 92, 91offval2 6111 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( F  o F  -  J )  o F  +  J
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( F `  n
)  -  ( J `
 n ) )  +  ( J `  n ) ) ) )
9487, 93, 903eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( F  o F  -  J )  o F  +  J
)  =  F )
9569, 51, 59, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
) : NN --> RR )
96 recn 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
97 recn 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
98 recn 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
99 subdi 9229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
10096, 97, 98, 99syl3an 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  x.  ( y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z
) ) )
101100adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  (
y  -  z ) )  =  ( ( x  x.  y )  -  ( x  x.  z ) ) )
10261, 67, 95, 78, 101caofdi 6129 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) )  =  ( ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) )  o F  -  ( H  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  o F  x.  G ) ) ) ) )
103 basel.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) )
104103, 80oveq12i 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( K  o F  -  J
)  =  ( ( H  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
) )  o F  -  ( H  o F  x.  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) ) )
105102, 104syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) )  =  ( K  o F  -  J ) )
10638recni 8865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  e.  CC
1071eqimss2i 3246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
108107, 60climconst2 12038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( pi ^
2 )  /  6
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
109106, 3, 108sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
110 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } )  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  -  G ) )  e. 
_V
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )  e.  _V )
112 ax-resscn 8810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  C_  CC
113 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC )
11451, 112, 113sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } ) : NN --> CC )
115 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : NN --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : NN --> CC )
11659, 112, 115sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  G : NN --> CC )
117 ofnegsub 9760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  e.  _V  /\  ( NN  X.  { 1 } ) : NN --> CC  /\  G : NN --> CC )  ->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  -  G ) )
11861, 114, 116, 117syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  =  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G ) )
119 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  e.  CC
12058, 119basellem7 20340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 1 } )  o F  x.  G ) )  ~~>  1
121118, 120syl6eqbrr 4077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
)  ~~>  1 )
122 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  RR )
12342, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  RR )
124123recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  e.  CC )
125 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  -  G ) `  k
)  e.  RR )
12663, 125sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
) `  k )  e.  RR )
127126recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
) `  k )  e.  CC )
128 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  Fn  NN )
12942, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } )  Fn  NN )
130 fnconstg 5445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { 1 } )  Fn  NN )
1313, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
1 } )  Fn  NN )
132 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : NN --> RR  ->  G  Fn  NN )
13359, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  G  Fn  NN )
134131, 133, 61, 61, 62offn 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
)  Fn  NN )
135 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
( ( pi ^
2 )  /  6
) } ) `  k ) )
136 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  -  G ) `  k ) )
137129, 134, 61, 61, 62, 135, 136ofval 6103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) } ) `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) `
 k ) ) )
1381, 3, 109, 111, 121, 124, 127, 137climmul 12122 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
139106mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
140138, 139syl6breq 4078 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) } )  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  -  G ) )  ~~>  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )
14165, 140syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  H  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
142 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  o F  x.  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
)  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) )  e. 
_V
143142a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) )  e.  _V )
144 3cn 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
145107, 60climconst2 12038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
146144, 3, 145sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  ~~>  3 )
147 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G )  e. 
_V
148147a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
)  e.  _V )
14958basellem6 20339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  ~~>  0
150149a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
151 3re 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  RR
152151elexi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  _V
153152fconst 5443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( NN 
X.  { 3 } ) : NN --> { 3 }
154151a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  3  e.  RR )
155154snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  { 3 }  C_  RR )
156 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> { 3 }  /\  { 3 } 
C_  RR )  -> 
( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
157153, 155, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR )
158 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( NN  X.  {
3 } ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  RR )
159157, 158sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  RR )
160159recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  e.  CC )
161 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k
)  e.  RR )
16259, 161sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
163162recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
164 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( NN  X.  { 3 } ) : NN --> RR  ->  ( NN  X.  { 3 } )  Fn  NN )
165157, 164syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  {
3 } )  Fn  NN )
166 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  {
3 } ) `  k )  =  ( ( NN  X.  {
3 } ) `  k ) )
167 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
168165, 133, 61, 61, 62, 166, 167ofval 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } ) `  k
)  x.  ( G `
 k ) ) )
1691, 3, 146, 148, 150, 160, 163, 168climmul 12122 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
)  ~~>  ( 3  x.  0 ) )
170144mul01i 9018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  x.  0 )  =  0
171169, 170syl6breq 4078 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
)  ~~>  0 )
172 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k
)  e.  RR )
17367, 172sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  RR )
174173recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  e.  CC )
17530, 157, 59, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) : NN --> RR )
176 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN 
X.  { 3 } )  o F  x.  G ) `  k
)  e.  RR )
177175, 176sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) `  k )  e.  RR )
178177recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) `  k )  e.  CC )
179 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : NN --> RR  ->  H  Fn  NN )
18067, 179syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  H  Fn  NN )
18144, 95, 78, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) ) : NN --> RR )
182 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
)  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) : NN --> RR  ->  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) )  Fn  NN )
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )  Fn  NN )
184 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  k ) )
185163mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  x.  ( G `
 k ) )  =  ( G `  k ) )
186 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
187 mulneg1 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( -u 2  x.  ( G `  k )
)  =  -u (
2  x.  ( G `
 k ) ) )
188186, 163, 187sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
189188negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u -u ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
190 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( G `  k )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( G `  k )
)  e.  CC )
191186, 163, 190sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
192191negnegd 9164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  -u -u (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( G `  k
) ) )
193189, 192eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( G `
 k ) )  =  -u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
194185, 193oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  + 
-u ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
195 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u 2  e.  RR  /\  ( G `  k
)  e.  RR )  ->  ( -u 2  x.  ( G `  k
) )  e.  RR )
19672, 162, 195sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  RR )
197196recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u 2  x.  ( G `
 k ) )  e.  CC )
198163, 197negsubd 9179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( G `  k
)  +  -u ( -u 2  x.  ( G `
 k ) ) )  =  ( ( G `  k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
199194, 198eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  x.  ( G `  k )
)  +  ( 2  x.  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
200 df-3 9821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  =  ( 2  +  1 )
201 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
202186, 201addcomi 9019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  ( 1  +  2 )
203200, 202eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =  ( 1  +  2 )
204203oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  ( G `  k ) )  =  ( ( 1  +  2 )  x.  ( G `  k )
)
205201a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
206186a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
207205, 206, 163adddird 8876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  2 )  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
208204, 207syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
3  x.  ( G `
 k ) )  =  ( ( 1  x.  ( G `  k ) )  +  ( 2  x.  ( G `  k )
) ) )
209205, 163, 197pnpcand 9210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( -u 2  x.  ( G `  k )
) ) )
210199, 208, 2093eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
211131, 133, 61, 61, 62offn 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
)  Fn  NN )
21213a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  -u 2  e.  ZZ )
213 fnconstg 5445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u
2  e.  ZZ  ->  ( NN  X.  { -u
2 } )  Fn  NN )
214212, 213syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  ( NN  X.  { -u 2 } )  Fn  NN )
215214, 133, 61, 61, 62offn 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
)  Fn  NN )
216131, 215, 61, 61, 62offn 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) )  Fn  NN )
21761, 48, 133, 167ofc1 6116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G
) `  k )  =  ( 1  +  ( G `  k
) ) )
21861, 73, 133, 167ofc1 6116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) `  k )  =  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) )
21961, 48, 215, 218ofc1 6116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) `  k )  =  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) )
220211, 216, 61, 61, 62, 217, 219ofval 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( 1  +  ( G `  k ) )  -  ( 1  +  ( -u 2  x.  ( G `  k
) ) ) ) )
22161, 154, 133, 167ofc1 6116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) `  k )  =  ( 3  x.  ( G `  k
) ) )
222210, 220, 2213eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G
) `  k )
)
223180, 183, 61, 61, 62, 184, 222ofval 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  o F  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( H `  k )  x.  ( ( ( NN  X.  { 3 } )  o F  x.  G ) `  k ) ) )
2241, 3, 141, 143, 171, 174, 178, 223climmul 12122 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 ) )
225106mul01i 9018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  0 )  =  0
226224, 225syl6breq 4078 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  G )  o F  -  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) ) )  ~~>  0 )
227105, 226eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( K  o F  -  J )  ~~>  0 )
228 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( F  o F  -  J
)  e.  _V
229228a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( F  o F  -  J )  e. 
_V )
23030, 67, 95, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  G ) ) : NN --> RR )
231103feq1i 5399 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  <->  ( H  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  +  G ) ) : NN --> RR )
232230, 231sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  K : NN --> RR )
23344, 232, 82, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( K  o F  -  J ) : NN --> RR )
234 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  o F  -  J ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  o F  -  J ) `  k )  e.  RR )
235233, 234sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  o F  -  J ) `  k )  e.  RR )
23644, 25, 82, 61, 61, 62off 6109 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( F  o F  -  J ) : NN --> RR )
237 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  o F  -  J ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o F  -  J ) `  k )  e.  RR )
238236, 237sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o F  -  J ) `  k )  e.  RR )
239 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  RR )
24025, 239sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
241 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k
)  e.  RR )
242232, 241sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  e.  RR )
243 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k
)  e.  RR )
24482, 243sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  RR )
245 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 )
24658, 23, 65, 80, 103, 245basellem8 20341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
247246adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( J `  k
)  <_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) ) )
248247simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  <_  ( K `  k
) )
249240, 242, 244, 248lesub1dd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  k
)  -  ( J `
 k ) )  <_  ( ( K `
 k )  -  ( J `  k ) ) )
250 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> RR  ->  F  Fn  NN )
25125, 250syl 15 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  F  Fn  NN )
252 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( J : NN --> RR  ->  J  Fn  NN )
25382, 252syl 15 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  J  Fn  NN )
254 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
255 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  =  ( J `  k ) )
256251, 253, 61, 61, 62, 254, 255ofval 6103 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o F  -  J ) `  k )  =  ( ( F `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
257 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( K : NN --> RR  ->  K  Fn  NN )
258232, 257syl 15 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  K  Fn  NN )
259 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( K `  k )  =  ( K `  k ) )
260258, 253, 61, 61, 62, 259, 255ofval 6103 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( K  o F  -  J ) `  k )  =  ( ( K `  k
)  -  ( J `
 k ) ) )
261249, 256, 2603brtr4d 4069 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o F  -  J ) `  k )  <_  (
( K  o F  -  J ) `  k ) )
262247simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  <_  ( F `  k
) )
263240, 244subge0d 9378 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k ) )  <->  ( J `  k )  <_  ( F `  k )
) )
264262, 263mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F `  k )  -  ( J `  k )
) )
265264, 256breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( F  o F  -  J ) `  k ) )
2661, 3, 227, 229, 235, 238, 261, 265climsqz2 12131 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( F  o F  -  J )  ~~>  0 )
267 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( F  o F  -  J )  o F  +  J )  e. 
_V
268267a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( F  o F  -  J )  o F  +  J
)  e.  _V )
269 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  o F  x.  (
( NN  X.  {
1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  o F  x.  G ) ) )  e.  _V
270269a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )  e. 
_V )
27172recni 8865 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 2  e.  CC
27258, 271basellem7 20340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) )  ~~>  1
273272a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) )  ~~>  1 )
274 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) `  k
)  e.  RR )
27578, 274sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) `  k )  e.  RR )
276275recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) `  k )  e.  CC )
277 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) `  k )  =  ( ( ( NN  X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN 
X.  { -u 2 } )  o F  x.  G ) ) `
 k ) )
278180, 216, 61, 61, 62, 184, 277ofval 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) ) `  k )  =  ( ( H `  k
)  x.  ( ( ( NN  X.  {
1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u
2 } )  o F  x.  G ) ) `  k ) ) )
2791, 3, 141, 270, 273, 174, 276, 278climmul 12122 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( ( pi ^ 2 )  /  6 )  x.  1 ) )
280279, 139syl6breq 4078 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( H  o F  x.  ( ( NN 
X.  { 1 } )  o F  +  ( ( NN  X.  { -u 2 } )  o F  x.  G
) ) )  ~~>  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
28180, 280syl5eqbr 4072 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  J  ~~>  ( (
pi ^ 2 )  /  6 ) )
282238recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o F  -  J ) `  k )  e.  CC )
283244recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k )  e.  CC )
284 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o F  -  J ) : NN --> RR  ->  ( F  o F  -  J )  Fn  NN )
285236, 284syl 15 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( F  o F  -  J )  Fn  NN )
286 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F  o F  -  J ) `  k )  =  ( ( F  o F  -  J ) `  k ) )
287285, 253, 61, 61, 62, 286, 255ofval 6103 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( ( F  o F  -  J )  o F  +  J
) `  k )  =  ( ( ( F  o F  -  J ) `  k
)  +  ( J `
 k ) ) )
2881, 3, 266, 268, 281, 282, 283, 287climadd 12121 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( F  o F  -  J )  o F  +  J
)  ~~>  ( 0  +  ( ( pi ^
2 )  /  6
) ) )
28994, 288eqbrtrrd 4061 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) ) )
290106addid2i 9016 . . . 4  |-  ( 0  +  ( ( pi
^ 2 )  / 
6 ) )  =  ( ( pi ^
2 )  /  6
)
291289, 23, 2903brtr3g 4070 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( n ^ -u 2 ) ) )  ~~>  ( ( pi ^
2 )  /  6
) )
2921, 3, 8, 21, 291isumclim 12236 . 2  |-  (  T. 
->  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2
)  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 ) )
293292trud 1314 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( k ^ -u 2 )  =  ( ( pi ^ 2 )  /  6 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   6c6 9815   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   picpi 12364
This theorem is referenced by:  basel  20343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ply 19586  df-idp 19587  df-coe 19588  df-dgr 19589  df-quot 19687
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