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Theorem basexre 25522
Description: A basis for the standard topology over the extended reals. (Contributed by FL, 14-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
basexre  |-  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  e.  TopBases

Proof of Theorem basexre
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 18269 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
2 isbasis2g 16686 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ( ran 
(,)  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ran  (,)
A. y  e.  ran  (,)
A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
32ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  A. x  e.  ran  (,) A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e. 
ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ran  (,) A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e. 
ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
54rspec 2607 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
6 ssun1 3338 . . . . . . . . 9  |-  ran  (,)  C_  ( ran  (,)  u.  {
RR* } )
7 ssrexv 3238 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
(,)  C_  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( E. w  e. 
ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
98ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
109ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
115, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
12 elun1 3342 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  x  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } ) )
13 elun 3316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  <->  ( y  e.  ran  (,)  \/  y  e.  { RR* } ) )
14 ioof 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  ran  (,)  C_  ~P RR )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_ 
~P RR
1716sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  y  e.  ~P RR )
18 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  y 
C_  RR )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  y 
C_  RR )
20 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2119, 20syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  y 
C_  RR* )
22 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  { RR* }  ->  y  =  RR* )
23 eqimss 3230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  RR*  ->  y  C_  RR* )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { RR* }  ->  y 
C_  RR* )
2521, 24jaoi 368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ran  (,)  \/  y  e.  { RR* } )  ->  y  C_  RR* )
2613, 25sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
y  C_  RR* )
27 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  RR*  <->  ( y  i^i  RR* )  =  y
)
2826, 27sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( y  i^i  RR* )  =  y )
2928eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( z  e.  ( y  i^i  RR* )  <->  z  e.  y ) )
3029biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  ( y  i^i  RR* )
)  ->  z  e.  y )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
32 eqimss2 3231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  RR* )  =  y  ->  y  C_  ( y  i^i  RR* ) )
3328, 32syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
y  C_  ( y  i^i  RR* ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_  ( y  i^i  RR* ) )
3531, 34jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
36 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  y ) )
37 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  ( y  i^i  RR* )  <->  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
3836, 37anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
3938rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
4035, 39syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
4130, 40syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  ( y  i^i  RR* )
)  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
4241rgen2 2639 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )
43 ineq1 3363 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y  i^i  RR* )  =  ( x  i^i  RR* ) )
4443sseq2d 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
w  C_  ( y  i^i  RR* )  <->  w  C_  (
x  i^i  RR* ) ) )
4544anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) ) )
4645rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) ) )
4743, 46raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z  e.  (
y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
4847rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  ->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
4912, 42, 48ee10 1366 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) )
50 xrex 10351 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
51 ineq2 3364 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  RR*  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  RR* ) )
5251sseq2d 3206 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  RR*  ->  ( w 
C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
x  i^i  RR* ) ) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  RR*  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) ) )
5453rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  RR*  ->  ( E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
5551, 54raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( y  =  RR*  ->  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
5650, 55ralsn 3674 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { RR* } A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) )
5749, 56sylibr 203 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  { RR* } A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
58 ralun 3357 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ran  (,)
A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  /\  A. y  e.  { RR* } A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )  ->  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
5911, 57, 58syl2anc 642 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
6059rgen 2608 . . 3  |-  A. x  e.  ran  (,) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
61 incom 3361 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  =  ( y  i^i  x
)
62 ineq2 3364 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  RR*  ->  ( y  i^i  x )  =  ( y  i^i  RR* ) )
6361, 62syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( x  =  RR*  ->  ( x  i^i  y )  =  ( y  i^i  RR* ) )
6463sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  RR*  ->  ( w 
C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
y  i^i  RR* ) ) )
6564anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  RR*  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6665rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( x  =  RR*  ->  ( E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6763, 66raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( x  =  RR*  ->  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6867ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  RR*  ->  ( A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6950, 68ralsn 3674 . . . 4  |-  ( A. x  e.  { RR* } A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
7042, 69mpbir 200 . . 3  |-  A. x  e.  { RR* } A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
71 ralun 3357 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ran  (,)
A. y  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  /\  A. x  e.  { RR* } A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )  ->  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
7260, 70, 71mp2an 653 . 2  |-  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
73 iooex 10679 . . . . 5  |-  (,)  e.  _V
7473rnex 4942 . . . 4  |-  ran  (,)  e.  _V
75 snex 4216 . . . 4  |-  { RR* }  e.  _V
7674, 75unex 4518 . . 3  |-  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  e.  _V
77 isbasis2g 16686 . . 3  |-  ( ( ran  (,)  u.  { RR* } )  e.  _V  ->  ( ( ran  (,)  u.  {
RR* } )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ran  (,)  u.  { RR* } )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
7972, 78mpbir 200 1  |-  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640    X. cxp 4687   ran crn 4690   -->wf 5251   RRcr 8736   RR*cxr 8866   (,)cioo 10656   TopBasesctb 16635
This theorem is referenced by:  stovr  25523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ioo 10660  df-bases 16638
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