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Theorem basexre 25625
Description: A basis for the standard topology over the extended reals. (Contributed by FL, 14-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
basexre  |-  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  e.  TopBases

Proof of Theorem basexre
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 18285 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
2 isbasis2g 16702 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ( ran 
(,)  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ran  (,)
A. y  e.  ran  (,)
A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) ) )
32ibi 232 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  A. x  e.  ran  (,) A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e. 
ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
41, 3ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  ran  (,) A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e. 
ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
54rspec 2620 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
6 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  ran  (,)  C_  ( ran  (,)  u.  {
RR* } )
7 ssrexv 3251 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
(,)  C_  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( E. w  e. 
ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
98ralimi 2631 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
109ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ran  (,) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  ->  A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
115, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  ran  (,) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) ) )
12 elun1 3355 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  x  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } ) )
13 elun 3329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  <->  ( y  e.  ran  (,)  \/  y  e.  { RR* } ) )
14 ioof 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  ran  (,)  C_  ~P RR )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  (,)  C_ 
~P RR
1716sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  y  e.  ~P RR )
18 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~P RR  ->  y 
C_  RR )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  y 
C_  RR )
20 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
2119, 20syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  y 
C_  RR* )
22 elsni 3677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  { RR* }  ->  y  =  RR* )
23 eqimss 3243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  RR*  ->  y  C_  RR* )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { RR* }  ->  y 
C_  RR* )
2521, 24jaoi 368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ran  (,)  \/  y  e.  { RR* } )  ->  y  C_  RR* )
2613, 25sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
y  C_  RR* )
27 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  RR*  <->  ( y  i^i  RR* )  =  y
)
2826, 27sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( y  i^i  RR* )  =  y )
2928eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( z  e.  ( y  i^i  RR* )  <->  z  e.  y ) )
3029biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  ( y  i^i  RR* )
)  ->  z  e.  y )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  y )
32 eqimss2 3244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  i^i  RR* )  =  y  ->  y  C_  ( y  i^i  RR* ) )
3328, 32syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
y  C_  ( y  i^i  RR* ) )
3433adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  y  C_  ( y  i^i  RR* ) )
3531, 34jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
36 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  y ) )
37 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  ( y  i^i  RR* )  <->  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
3836, 37anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
3938rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
4035, 39syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  y )  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
4130, 40syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  /\  z  e.  ( y  i^i  RR* )
)  ->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
4241rgen2 2652 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )
43 ineq1 3376 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
y  i^i  RR* )  =  ( x  i^i  RR* ) )
4443sseq2d 3219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
w  C_  ( y  i^i  RR* )  <->  w  C_  (
x  i^i  RR* ) ) )
4544anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) ) )
4645rexbidv 2577 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) ) )
4743, 46raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z  e.  (
y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
4847rspcv 2893 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ran  (,)  u. 
{ RR* } )  -> 
( A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) )  ->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
4912, 42, 48ee10 1366 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) )
50 xrex 10367 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
51 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  RR*  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  RR* ) )
5251sseq2d 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  RR*  ->  ( w 
C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
x  i^i  RR* ) ) )
5352anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  RR*  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* ) ) ) )
5453rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  RR*  ->  ( E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
5551, 54raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( y  =  RR*  ->  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) ) )
5650, 55ralsn 3687 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { RR* } A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( x  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  RR* )
) )
5749, 56sylibr 203 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  { RR* } A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
58 ralun 3370 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ran  (,)
A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  /\  A. y  e.  { RR* } A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )  ->  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
5911, 57, 58syl2anc 642 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  (,)  ->  A. y  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
6059rgen 2621 . . 3  |-  A. x  e.  ran  (,) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
61 incom 3374 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  =  ( y  i^i  x
)
62 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  RR*  ->  ( y  i^i  x )  =  ( y  i^i  RR* ) )
6361, 62syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( x  =  RR*  ->  ( x  i^i  y )  =  ( y  i^i  RR* ) )
6463sseq2d 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  RR*  ->  ( w 
C_  ( x  i^i  y )  <->  w  C_  (
y  i^i  RR* ) ) )
6564anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  RR*  ->  ( ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6665rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( x  =  RR*  ->  ( E. w  e.  ( ran 
(,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y ) )  <->  E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6763, 66raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( x  =  RR*  ->  ( A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6867ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  RR*  ->  ( A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) ) )
6950, 68ralsn 3687 . . . 4  |-  ( A. x  e.  { RR* } A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  <->  A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( y  i^i  RR* ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( y  i^i  RR* ) ) )
7042, 69mpbir 200 . . 3  |-  A. x  e.  { RR* } A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
71 ralun 3370 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  ran  (,)
A. y  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )  /\  A. x  e.  { RR* } A. y  e.  ( ran  (,) 
u.  { RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y ) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )  ->  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  { RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
7260, 70, 71mp2an 653 . 2  |-  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) )
73 iooex 10695 . . . . 5  |-  (,)  e.  _V
7473rnex 4958 . . . 4  |-  ran  (,)  e.  _V
75 snex 4232 . . . 4  |-  { RR* }  e.  _V
7674, 75unex 4534 . . 3  |-  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  e.  _V
77 isbasis2g 16702 . . 3  |-  ( ( ran  (,)  u.  { RR* } )  e.  _V  ->  ( ( ran  (,)  u.  {
RR* } )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) ) )
7876, 77ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ran  (,)  u.  { RR* } )  e.  TopBases  <->  A. x  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. y  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) A. z  e.  ( x  i^i  y
) E. w  e.  ( ran  (,)  u.  {
RR* } ) ( z  e.  w  /\  w  C_  ( x  i^i  y
) ) )
7972, 78mpbir 200 1  |-  ( ran 
(,)  u.  { RR* } )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653    X. cxp 4703   ran crn 4706   -->wf 5267   RRcr 8752   RR*cxr 8882   (,)cioo 10672   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  stovr  25626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ioo 10676  df-bases 16654
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