Theorem basgent 7639

Description: Given a topology J, show that a subset B satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81 using abbreviations.

Assertion

Ref	Expression
basgent	|- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J x (_ U.(B i^i P~x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))

Distinct variable groups:   x,B   x,J

Proof of Theorem basgent

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basgen2t 7638	. 2 |- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))
2		dfss3 2062	. . . 4 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x y e. U.(B i^i P~x))
3		elin 2210	. . . . . . . . . 10 |- (z e. (B i^i P~x) <-> (z e. B /\ z e. P~x))
4		visset 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
5	4	elpw 2408	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. P~x <-> z (_ x)
6	5	anbi2i 482	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. B /\ z e. P~x) <-> (z e. B /\ z (_ x))
7	3, 6	bitr 173	. . . . . . . . 9 |- (z e. (B i^i P~x) <-> (z e. B /\ z (_ x))
8	7	anbi2i 482	. . . . . . . 8 |- ((y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> (y e. z /\ (z e. B /\ z (_ x)))
9		an12 486	. . . . . . . 8 |- ((y e. z /\ (z e. B /\ z (_ x)) <-> (z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
10	8, 9	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> (z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
11	10	exbii 1053	. . . . . 6 |- (E.z(y e. z /\ z e. (B i^i P~x)) <-> E.z(z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
12		eluni 2510	. . . . . 6 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> E.z(y e. z /\ z e. (B i^i P~x)))
13		df-rex 1653	. . . . . 6 |- (E.z e. B (y e. z /\ z (_ x) <-> E.z(z e. B /\ (y e. z /\ z (_ x)))
14	11, 12, 13	3bitr4 183	. . . . 5 |- (y e. U.(B i^i P~x) <-> E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
15	14	ralbii 1670	. . . 4 |- (A.y e. x y e. U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
16	2, 15	bitr 173	. . 3 |- (x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
17	16	ralbii 1670	. 2 |- (A.x e. J x (_ U.(B i^i P~x) <-> A.x e. J A.y e. x E.z e. B (y e. z /\ z (_ x))
18	1, 17	syl3an3b 866	1 |- ((J e. Top /\ B (_ J /\ A.x e. J x (_ U.(B i^i P~x)) -> (B e. Bases /\ (topGen` B) = J))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649   i^i cin 2049   (_ wss 2050  P~cpw 2405  U.cuni 2507  ` cfv 3188  Topctop 7590  Basesctb 7592  topGenctg 7593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597

Copyright terms: Public domain