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Theorem basis2 17021
Description: Property of a basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
basis2  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  C  e.  B )  /\  ( D  e.  B  /\  A  e.  ( C  i^i  D ) ) )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D

Proof of Theorem basis2
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isbasis2g 17018 . . . . 5  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) ) ) )
21ibi 234 . . . 4  |-  ( B  e.  TopBases  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) ) )
3 ineq1 3537 . . . . . . 7  |-  ( y  =  C  ->  (
y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z ) )
4 sseq2 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  (
x  C_  ( y  i^i  z )  <->  x  C_  ( C  i^i  z ) ) )
54anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  (
( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <-> 
( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
65rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  ( E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
76raleqbi1dv 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  =  ( C  i^i  z )  ->  ( A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  =  C  ->  ( A. w  e.  (
y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) ) ) )
9 ineq2 3538 . . . . . . 7  |-  ( z  =  D  ->  ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D
) )
10 sseq2 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( x  C_  ( C  i^i  z
)  <->  x  C_  ( C  i^i  D ) ) )
1110anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( (
w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
1211rexbidv 2728 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( E. x  e.  B  (
w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
1312raleqbi1dv 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( C  i^i  z )  =  ( C  i^i  D )  ->  ( A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z
) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
149, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( z  =  D  ->  ( A. w  e.  ( C  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  z ) )  <->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
158, 14rspc2v 3060 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) )  ->  A. w  e.  ( C  i^i  D
) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
16 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  (
w  e.  x  <->  A  e.  x ) )
1716anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) )  <-> 
( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
1817rexbidv 2728 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) )  <->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D ) ) ) )
1918rspccv 3051 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  ( C  i^i  D ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) )  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) )
2015, 19syl6com 34 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. w  e.  ( y  i^i  z ) E. x  e.  B  ( w  e.  x  /\  x  C_  ( y  i^i  z
) )  ->  (
( C  e.  B  /\  D  e.  B
)  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D
)  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) )
212, 20syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) )
2221exp3a 427 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( C  e.  B  ->  ( D  e.  B  ->  ( A  e.  ( C  i^i  D )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) ) ) ) )
2322imp43 580 1  |-  ( ( ( B  e.  TopBases  /\  C  e.  B )  /\  ( D  e.  B  /\  A  e.  ( C  i^i  D ) ) )  ->  E. x  e.  B  ( A  e.  x  /\  x  C_  ( C  i^i  D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321    C_ wss 3322   TopBasesctb 16967
This theorem is referenced by:  tgcl  17039  restbas  17227  txbas  17604  basqtop  17748  tgioo  18832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ral 2712  df-rex 2713  df-v 2960  df-in 3329  df-ss 3336  df-pw 3803  df-uni 4018  df-bases 16970
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