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Theorem baspartn 17011
Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
baspartn  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Distinct variable group:    x, P, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem baspartn
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  P )
2 pwidg 3803 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ~P x )
3 elin 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( P  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  P  /\  x  e.  ~P x ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ( P  i^i  ~P x ) )
5 elssuni 4035 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( P  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
7 inidm 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  x )  =  x
8 ineq2 3528 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
97, 8syl5eqr 2481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  x  =  ( x  i^i  y ) )
109pweqd 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P (
x  i^i  y )
)
1110ineq2d 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( P  i^i  ~P x )  =  ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1211unieqd 4018 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. ( P  i^i  ~P x )  =  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
139, 12sseq12d 3369 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U. ( P  i^i  ~P x )  <-> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
146, 13syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
x  =  y  -> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
15 0ss 3648 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
16 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
1715, 16mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
1914, 18jaod 370 . . . . 5  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2019ralimdv 2777 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( A. y  e.  P  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2120ralimia 2771 . . 3  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
2221adantl 453 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
23 isbasisg 17004 . . 3  |-  ( P  e.  V  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2423adantr 452 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
2522, 24mpbird 224 1  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   TopBasesctb 16954
This theorem is referenced by:  kelac2lem  27130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703  df-v 2950  df-dif 3315  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-pw 3793  df-uni 4008  df-bases 16957
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