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Theorem baspartn 16708
Description: A disjoint system of sets is a basis for a topology. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
baspartn  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Distinct variable group:    x, P, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem baspartn
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  P )
2 pwidg 3650 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ~P x )
3 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( P  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  P  /\  x  e.  ~P x ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  P  ->  x  e.  ( P  i^i  ~P x ) )
5 elssuni 3871 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( P  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P  ->  x  C_ 
U. ( P  i^i  ~P x ) )
7 inidm 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  x )  =  x
8 ineq2 3377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  i^i  x )  =  ( x  i^i  y ) )
97, 8syl5eqr 2342 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  x  =  ( x  i^i  y ) )
109pweqd 3643 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P (
x  i^i  y )
)
1110ineq2d 3383 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( P  i^i  ~P x )  =  ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1211unieqd 3854 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. ( P  i^i  ~P x )  =  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
139, 12sseq12d 3220 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  U. ( P  i^i  ~P x )  <-> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
146, 13syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
x  =  y  -> 
( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
15 0ss 3496 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )
16 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( ( x  i^i  y ) 
C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  <->  (/)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
1715, 16mpbiri 224 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) )
1817a1i 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
1914, 18jaod 369 . . . . 5  |-  ( x  e.  P  ->  (
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  i^i  y )  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2019ralimdv 2635 . . . 4  |-  ( x  e.  P  ->  ( A. y  e.  P  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2120ralimia 2629 . . 3  |-  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
2221adantl 452 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) )
23 isbasisg 16701 . . 3  |-  ( P  e.  V  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  i^i  y
)  C_  U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y ) ) ) )
2423adantr 451 . 2  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  ( P  e.  TopBases  <->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  i^i  y )  C_ 
U. ( P  i^i  ~P ( x  i^i  y
) ) ) )
2522, 24mpbird 223 1  |-  ( ( P  e.  V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )  ->  P  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  kelac2lem  27265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-pw 3640  df-uni 3844  df-bases 16654
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