MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Unicode version

Theorem bastg 16704
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3638 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
5 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  ~P x ) )
61, 4, 5sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
7 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
98ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 16695 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
119, 10sylibrd 225 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1211ssrdv 3185 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   topGenctg 13342
This theorem is referenced by:  unitg  16705  tgclb  16708  tgtop  16711  tgidm  16718  tgss3  16724  bastop2  16732  elcls3  16820  ordtopn1  16924  ordtopn2  16925  leordtval2  16942  iocpnfordt  16945  icomnfordt  16946  iooordt  16947  tgcn  16982  tgcnp  16983  tgcmp  17128  2ndcsb  17175  2ndc1stc  17177  2ndcctbss  17181  2ndcomap  17184  ptopn  17278  xkoopn  17284  txopn  17297  txbasval  17301  ptpjcn  17305  flftg  17691  alexsubb  17740  blssopn  18041  iooretop  18275  bndth  18456  ovolicc2  18881  cncombf  19013  cnmbf  19014  elmbfmvol2  23572  iccllyscon  23781  rellyscon  23782  ontgval  24870  elsubops  25532  topjoin  26314  fnemeet2  26316  fnejoin1  26317  kelac2  27163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344
  Copyright terms: Public domain W3C validator