MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Unicode version

Theorem bastg 16954
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 2902 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3755 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
5 elin 3473 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  ~P x ) )
61, 4, 5sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
7 elssuni 3985 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
98ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 16945 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
119, 10sylibrd 226 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1211ssrdv 3297 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ~Pcpw 3742   U.cuni 3957   ` cfv 5394   topGenctg 13592
This theorem is referenced by:  unitg  16955  tgclb  16958  tgtop  16961  tgidm  16968  tgss3  16974  bastop2  16982  elcls3  17070  ordtopn1  17180  ordtopn2  17181  leordtval2  17198  iocpnfordt  17201  icomnfordt  17202  iooordt  17203  tgcn  17238  tgcnp  17239  tgcmp  17386  2ndcsb  17433  2ndc1stc  17435  2ndcctbss  17439  2ndcomap  17442  ptopn  17536  xkoopn  17542  txopn  17555  txbasval  17559  ptpjcn  17564  flftg  17949  alexsubb  17998  blssopn  18415  iooretop  18671  bndth  18854  ovolicc2  19285  cncombf  19417  cnmbf  19418  elmbfmvol2  24411  dya2icoseg2  24422  iccllyscon  24716  rellyscon  24717  ontgval  25895  topjoin  26085  fnemeet2  26087  fnejoin1  26088  kelac2  26832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-topgen 13594
  Copyright terms: Public domain W3C validator