MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Unicode version

Theorem bastg 17023
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3804 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
5 elin 3522 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  ~P x ) )
61, 4, 5sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
7 elssuni 4035 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
98ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 17014 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
119, 10sylibrd 226 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1211ssrdv 3346 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   ` cfv 5446   topGenctg 13657
This theorem is referenced by:  unitg  17024  tgclb  17027  tgtop  17030  tgidm  17037  tgss3  17043  bastop2  17051  elcls3  17139  ordtopn1  17250  ordtopn2  17251  leordtval2  17268  iocpnfordt  17271  icomnfordt  17272  iooordt  17273  tgcn  17308  tgcnp  17309  tgcmp  17456  2ndcsb  17504  2ndc1stc  17506  2ndcctbss  17510  2ndcomap  17513  ptopn  17607  xkoopn  17613  txopn  17626  txbasval  17630  ptpjcn  17635  flftg  18020  alexsubb  18069  blssopn  18517  iooretop  18792  bndth  18975  ovolicc2  19410  cncombf  19542  cnmbf  19543  elmbfmvol2  24609  dya2icoseg2  24620  iccllyscon  24929  rellyscon  24930  ontgval  26173  mblfinlem2  26235  mblfinlem3  26236  ismblfin  26237  cnambfre  26245  topjoin  26385  fnemeet2  26387  fnejoin1  26388  kelac2  27131
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-topgen 13659
  Copyright terms: Public domain W3C validator