MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Unicode version

Theorem bastg 16720
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3651 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
5 elin 3371 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  ~P x ) )
61, 4, 5sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
7 elssuni 3871 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
86, 7syl 15 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
98ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 16711 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
119, 10sylibrd 225 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1211ssrdv 3198 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271   topGenctg 13358
This theorem is referenced by:  unitg  16721  tgclb  16724  tgtop  16727  tgidm  16734  tgss3  16740  bastop2  16748  elcls3  16836  ordtopn1  16940  ordtopn2  16941  leordtval2  16958  iocpnfordt  16961  icomnfordt  16962  iooordt  16963  tgcn  16998  tgcnp  16999  tgcmp  17144  2ndcsb  17191  2ndc1stc  17193  2ndcctbss  17197  2ndcomap  17200  ptopn  17294  xkoopn  17300  txopn  17313  txbasval  17317  ptpjcn  17321  flftg  17707  alexsubb  17756  blssopn  18057  iooretop  18291  bndth  18472  ovolicc2  18897  cncombf  19029  cnmbf  19030  elmbfmvol2  23587  iccllyscon  23796  rellyscon  23797  ontgval  24942  elsubops  25635  topjoin  26417  fnemeet2  26419  fnejoin1  26420  kelac2  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13360
  Copyright terms: Public domain W3C validator