MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Unicode version

Theorem bastg 17036
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)

Proof of Theorem bastg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
2 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32pwid 3814 . . . . . . 7  |-  x  e. 
~P x
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ~P x
)
5 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  <->  ( x  e.  B  /\  x  e.  ~P x ) )
61, 4, 5sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  i^i  ~P x ) )
7 elssuni 4045 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  i^i  ~P x )  ->  x  C_ 
U. ( B  i^i  ~P x ) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) )
98ex 425 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
10 eltg 17027 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  ( topGen `  B )  <->  x  C_  U. ( B  i^i  ~P x ) ) )
119, 10sylibrd 227 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( topGen `  B ) ) )
1211ssrdv 3356 1  |-  ( B  e.  V  ->  B  C_  ( topGen `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   ` cfv 5457   topGenctg 13670
This theorem is referenced by:  unitg  17037  tgclb  17040  tgtop  17043  tgidm  17050  tgss3  17056  bastop2  17064  elcls3  17152  ordtopn1  17263  ordtopn2  17264  leordtval2  17281  iocpnfordt  17284  icomnfordt  17285  iooordt  17286  tgcn  17321  tgcnp  17322  tgcmp  17469  2ndcsb  17517  2ndc1stc  17519  2ndcctbss  17523  2ndcomap  17526  ptopn  17620  xkoopn  17626  txopn  17639  txbasval  17643  ptpjcn  17648  flftg  18033  alexsubb  18082  blssopn  18530  iooretop  18805  bndth  18988  ovolicc2  19423  cncombf  19553  cnmbf  19554  elmbfmvol2  24622  dya2icoseg2  24633  iccllyscon  24942  rellyscon  24943  ontgval  26186  mblfinlem3  26257  mblfinlem4  26258  ismblfin  26259  cnambfre  26267  topjoin  26408  fnemeet2  26410  fnejoin1  26411  kelac2  27154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-topgen 13672
  Copyright terms: Public domain W3C validator