MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop Unicode version

Theorem bastop 16936
Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
bastop  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )

Proof of Theorem bastop
StepHypRef Expression
1 tgtop 16928 . 2  |-  ( B  e.  Top  ->  ( topGen `
 B )  =  B )
2 tgcl 16924 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
3 eleq1 2426 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  =  B  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  B  e.  Top )
)
42, 3syl5ibcom 211 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( topGen `  B )  =  B  ->  B  e.  Top ) )
51, 4impbid2 195 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358   topGenctg 13552   Topctop 16848   TopBasesctb 16852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fv 5366  df-topgen 13554  df-top 16853  df-bases 16855
  Copyright terms: Public domain W3C validator