MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastop Unicode version

Theorem bastop 16719
Description: Two ways to express that a basis is a topology. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
bastop  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )

Proof of Theorem bastop
StepHypRef Expression
1 tgtop 16711 . 2  |-  ( B  e.  Top  ->  ( topGen `
 B )  =  B )
2 tgcl 16707 . . 3  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( topGen `  B
)  e.  Top )
3 eleq1 2343 . . 3  |-  ( (
topGen `  B )  =  B  ->  ( ( topGen `
 B )  e. 
Top 
<->  B  e.  Top )
)
42, 3syl5ibcom 211 . 2  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( ( topGen `  B )  =  B  ->  B  e.  Top ) )
51, 4impbid2 195 1  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( B  e. 
Top 
<->  ( topGen `  B )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator