HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem bccmplt 6962
Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient.
Assertion
Ref Expression
bccmplt |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) = (N C. (N - K)))
Proof of Theorem bccmplt
StepHypRef Expression
1 axmulcom 5276 . . . . 5 |- (((!` (N - K)) e. CC /\ (!` K) e. CC) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
2 nn0subt 6161 . . . . . . . 8 |- ((K e. NN0 /\ N e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
32ancoms 436 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (K <_ N <-> (N - K) e. NN0))
43biimp3a 919 . . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N - K) e. NN0)
5 facclt 6940 . . . . . 6 |- ((N - K) e. NN0 -> (!` (N - K)) e. NN)
6 nncnt 5930 . . . . . 6 |- ((!` (N - K)) e. NN -> (!` (N - K)) e. CC)
74, 5, 63syl 20 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` (N - K)) e. CC)
8 facclt 6940 . . . . . . 7 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. NN)
9 nncnt 5930 . . . . . . 7 |- ((!` K) e. NN -> (!` K) e. CC)
108, 9syl 10 . . . . . 6 |- (K e. NN0 -> (!` K) e. CC)
11103ad2ant2 801 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` K) e. CC)
121, 7, 11sylanc 471 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
13 nncant 5469 . . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ K e. CC) -> (N - (N - K)) = K)
14 nn0cnt 6109 . . . . . . . 8 |- (N e. NN0 -> N e. CC)
15 nn0cnt 6109 . . . . . . . 8 |- (K e. NN0 -> K e. CC)
1613, 14, 15syl2an 454 . . . . . . 7 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (N - (N - K)) = K)
1716fveq2d 3728 . . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (!` (N - (N - K))) = (!` K))
18173adant3 799 . . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (!` (N - (N - K))) = (!` K))
1918opreq1d 3975 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K))) = ((!` K) x. (!` (N - K))))
2012, 19eqtr4d 1510 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` (N - K)) x. (!` K)) = ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K))))
2120opreq2d 3976 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
22 bcval2t 6959 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) = ((!` N) / ((!` (N - K)) x. (!` K))))
23 bcval2t 6959 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ (N - K) e. NN0 /\ (N - K) <_ N) -> (N C. (N - K)) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
24 3simp1 788 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> N e. NN0)
25 nn0addge1t 6130 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> N <_ (N + K))
26 lesubaddt 5629 . . . . . . . 8 |- ((N e. RR /\ K e. RR /\ N e. RR) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
27263anidm13 883 . . . . . . 7 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
28 nn0ret 6108 . . . . . . 7 |- (K e. NN0 -> K e. RR)
2927, 28sylan2 451 . . . . . 6 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> ((N - K) <_ N <-> N <_ (N + K)))
3025, 29mpbird 196 . . . . 5 |- ((N e. RR /\ K e. NN0) -> (N - K) <_ N)
31 nn0ret 6108 . . . . 5 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
3230, 31sylan 448 . . . 4 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0) -> (N - K) <_ N)
33323adant3 799 . . 3 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N - K) <_ N)
3423, 24, 4, 33syl3anc 858 . 2 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. (N - K)) = ((!` N) / ((!` (N - (N - K))) x. (!` (N - K)))))
3521, 22, 343eqtr4d 1517 1 |- ((N e. NN0 /\ K e. NN0 /\ K <_ N) -> (N C. K) = (N C. (N - K)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292   / cdiv 5294   <_ cle 5295  NNcn 5296  NN0cn0 5297  !cfa 6931   C. cbc 6956
This theorem is referenced by:  bcnnt 6964  bcnp1nt 6966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136  df-seq1 6308  df-fac 6932  df-bc 6957
Copyright terms: Public domain