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Theorem bclbnd 20535
Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bclbnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )

Proof of Theorem bclbnd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 9895 . . 3  |-  4  e.  NN
21nnzi 10063 . 2  |-  4  e.  ZZ
3 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ 4 ) )
4 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  x  =  4 )
53, 4oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
6 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  4 ) )
76, 4oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 ) )
85, 7breq12d 4052 . 2  |-  ( x  =  4  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
) ) )
9 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ n ) )
10 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  x  =  n )
119, 10oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ n )  /  n ) )
12 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1312, 10oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  n )  _C  n ) )
1411, 13breq12d 4052 . 2  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ n )  /  n )  < 
( ( 2  x.  n )  _C  n
) ) )
15 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ ( n  +  1 ) ) )
16 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  x  =  ( n  + 
1 ) )
1715, 16oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) ) )
18 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1918, 16oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4052 . 2  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ N ) )
22 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
2321, 22oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ N )  /  N ) )
24 oveq2 5882 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
2524, 22oveq12d 5892 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
2623, 25breq12d 4052 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
27 6nn0 10002 . . . 4  |-  6  e.  NN0
28 7nn0 10003 . . . 4  |-  7  e.  NN0
29 4nn0 10000 . . . 4  |-  4  e.  NN0
30 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
31 4lt10 9943 . . . 4  |-  4  <  10
32 6lt7 9917 . . . 4  |-  6  <  7
3327, 28, 29, 30, 31, 32decltc 10162 . . 3  |- ; 6 4  < ; 7 0
34 2cn 9832 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
35 2nn0 9998 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
36 3nn0 9999 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
37 expmul 11163 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
3 ) )
3834, 35, 36, 37mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
39 sq2 11215 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
4039eqcomi 2300 . . . . . 6  |-  4  =  ( 2 ^ 2 )
41 3p1e4 9864 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
42 4cn 9836 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
43 ax-1cn 8811 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
44 3cn 9834 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4542, 43, 44subadd2i 9150 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
4641, 45mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
4740, 46oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
4838, 47eqtr4i 2319 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 4 ^ (
4  -  1 ) )
49 3t2e6 9888 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
5044, 34, 49mulcomli 8860 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5150oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 2 ^ 6 )
52 2exp6 13117 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
5351, 52eqtri 2316 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  = ; 6
4
541nnne0i 9796 . . . . 5  |-  4  =/=  0
55 expm1 11167 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
5642, 54, 2, 55mp3an 1277 . . . 4  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  /  4
)
5748, 53, 563eqtr3ri 2325 . . 3  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  = ; 6
4
58 df-4 9822 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
5958oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  4 )  =  ( 2  x.  (
3  +  1 ) )
6059, 58oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  (
3  +  1 ) )
61 bcp1ctr 20534 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) ) )
6236, 61ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) )
63 df-3 9821 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6463oveq2i 5885 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 2  x.  (
2  +  1 ) )
6564, 63oveq12i 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  (
2  +  1 ) )
66 bcp1ctr 20534 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) ) )
6735, 66ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) )
68 df-2 9820 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6968oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
1  +  1 ) )
7069, 68oveq12i 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  (
1  +  1 ) )
71 1nn0 9997 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
72 bcp1ctr 20534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) )
74 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7574oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 2  x.  (
0  +  1 ) )
7675, 74oveq12i 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  (
0  +  1 ) )
77 bcp1ctr 20534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
7830, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) )
7935, 30nn0mulcli 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  0 )  e. 
NN0
80 bcn0 11339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  0 )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1 )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1
8234mul01i 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
8382oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
8483, 74eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1
8574eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8684, 85oveq12i 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  /  1
)
8743div1i 9504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8886, 87eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  1
8988oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
9034mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  2
9281, 91oveq12i 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 )
9334mulid2i 8856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
9492, 93eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  2
9576, 78, 943eqtri 2320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  2
9690oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9796, 63eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
9868eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9997, 98oveq12i 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) )  =  ( 3  /  2
)
10099oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
3  /  2 ) )
101 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
10244, 34, 101divcan2i 9519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  3
103100, 102eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  3
10495, 103oveq12i 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  3 )
105104, 50eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  6
10670, 73, 1053eqtri 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  6
107 2t2e4 9887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
108107oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
109 df-5 9823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  =  ( 4  +  1 )
110108, 109eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
11163eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
112110, 111oveq12i 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) )  =  ( 5  /  3
)
113112oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
114 5nn 9896 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN
115114nncni 9772 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  CC
116 3ne0 9847 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
11734, 115, 44, 116divassi 9532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  5 )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
118113, 117eqtr4i 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  /  3
)
119106, 118oveq12i 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  (
2  +  1 ) ) ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
12067, 119eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
121 6nn 9897 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
122121nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
123 2nn 9893 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
124123, 114nnmulcli 9786 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  5 )  e.  NN
125124nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  e.  CC
12644, 116pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
127 div12 9462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  ( 2  x.  5 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) ) )
128122, 125, 126, 127mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) )
129 5t2e10 9891 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
130115, 34, 129mulcomli 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
131122, 44, 34, 116divmuli 9530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
13249, 131mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  /  3 )  =  2
133130, 132oveq12i 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  ( 6  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
134128, 133eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
13565, 120, 1343eqtri 2320 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( 10  x.  2 )
13650oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
137 df-7 9825 . . . . . . . . 9  |-  7  =  ( 6  +  1 )
138136, 137eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
139138, 41oveq12i 5886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) )  =  ( 7  /  4
)
140139oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  / 
( 3  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
7  /  4 ) )
141135, 140oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  (
3  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
14260, 62, 1413eqtri 2320 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
143 10nn 9901 . . . . . . 7  |-  10  e.  NN
144143nncni 9772 . . . . . 6  |-  10  e.  CC
145 7nn 9898 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
146145nncni 9772 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
147146, 42, 54divcli 9518 . . . . . . 7  |-  ( 7  /  4 )  e.  CC
14834, 147mulcli 8858 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) )  e.  CC
149144, 34, 148mulassi 8862 . . . . 5  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  (
2  x.  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) ) ) )
150107oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 4  x.  (
7  /  4 ) )
15134, 34, 147mulassi 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
152146, 42, 54divcan2i 9519 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  7
153150, 151, 1523eqtr3i 2324 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  7
154153oveq2i 5885 . . . . 5  |-  ( 10  x.  ( 2  x.  ( 2  x.  (
7  /  4 ) ) ) )  =  ( 10  x.  7 )
155149, 154eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  7 )
15628dec0u 10155 . . . 4  |-  ( 10  x.  7 )  = ; 7
0
157142, 155, 1563eqtri 2320 . . 3  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  = ; 7
0
15833, 57, 1573brtr4i 4067 . 2  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
)
159 nnuz 10279 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
160159uztrn2 10261 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  n  e.  NN )
1611, 160mpan 651 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  n  e.  NN )
162 nnnn0 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
163 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ n
)  e.  NN )
1641, 162, 163sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  NN )
165164nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  RR+ )
166 nnrp 10379 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
167165, 166rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR+ )
168167rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR )
169 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
170123, 169mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
171170nnnn0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
172 nnz 10061 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
173 bccl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  _C  n
)  e.  NN0 )
174171, 172, 173syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  NN0 )
175174nn0red 10035 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  RR )
176 2rp 10375 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
177170peano2nnd 9779 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
178177nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR+ )
179 peano2nn 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
180179nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
181178, 180rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
182 rpmulcl 10391 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
183176, 181, 182sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
184168, 175, 183ltmul1d 10443 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
185 bcp1ctr 20534 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
186162, 185syl 15 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
187186breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
188184, 187bitr4d 247 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
189 2re 9831 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
190189a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
191178, 166rpdivcld 10423 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
192191rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR )
193 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ^ n
)  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  e.  NN )
194164, 123, 193sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  NN )
195194nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  RR+ )
196195, 180rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
197166rpreccld 10416 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
198 ltaddrp 10402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
199189, 197, 198sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
200170nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
20143a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
202 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
203 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
204200, 201, 202, 203divdird 9590 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  n )  +  ( 1  /  n
) ) )
20534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
206205, 202, 203divcan4d 9558 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  n )  =  2 )
207206oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  n
)  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 2  +  ( 1  /  n
) ) )
208204, 207eqtr2d 2329 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n ) )
209199, 208breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) )
210190, 192, 196, 209ltmul2dd 10458 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  (
n  +  1 ) )  x.  2 )  <  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
211 expp1 11126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
21242, 162, 211sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
213164nncnd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  CC )
214213, 205, 205mulassd 8874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) ) )
215107oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 )
216214, 215syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
217212, 216eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 ) )
218217oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  x.  2 )  / 
( n  +  1 ) ) )
219194nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  CC )
220179nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
221179nnne0d 9806 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
222219, 205, 220, 221div23d 9589 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
223218, 222eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
224213, 205, 202, 203div23d 9589 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 ) )
225224oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )
226177nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
227219, 202, 226, 220, 203, 221divmul24d 9595 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
228167rpcnd 10408 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  CC )
229181rpcnd 10408 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
230228, 205, 229mulassd 8874 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
231225, 227, 2303eqtr3rd 2337 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
232210, 223, 2313brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
233179nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
234 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  e.  NN )
2351, 233, 234sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  NN )
236235nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
237236, 180rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
238237rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
239183rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
240168, 239remulcld 8879 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
241 nn0mulcl 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
24235, 233, 241sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
243179nnzd 10132 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
244 bccl 11350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
245242, 243, 244syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
246245nn0red 10035 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
247 lttr 8915 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
248238, 240, 246, 247syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) )  <  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
249232, 248mpand 656 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
250188, 249sylbid 206 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
251161, 250syl 15 . 2  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  <  ( ( 2  x.  n )  _C  n )  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
2522, 8, 14, 20, 26, 158, 251uzind4i 10296 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   7c7 9816   10c10 9819   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ;cdc 10140   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ^cexp 11120    _C cbc 11331
This theorem is referenced by:  bposlem6  20544  chebbnd1lem1  20634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332
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