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Theorem bclbnd 20519
Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bclbnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )

Proof of Theorem bclbnd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 9879 . . 3  |-  4  e.  NN
21nnzi 10047 . 2  |-  4  e.  ZZ
3 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ 4 ) )
4 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  x  =  4 )
53, 4oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
6 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  4 ) )
76, 4oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 ) )
85, 7breq12d 4036 . 2  |-  ( x  =  4  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
) ) )
9 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ n ) )
10 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  x  =  n )
119, 10oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ n )  /  n ) )
12 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1312, 10oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  n )  _C  n ) )
1411, 13breq12d 4036 . 2  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ n )  /  n )  < 
( ( 2  x.  n )  _C  n
) ) )
15 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ ( n  +  1 ) ) )
16 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  x  =  ( n  + 
1 ) )
1715, 16oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) ) )
18 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1918, 16oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4036 . 2  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ N ) )
22 id 19 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
2321, 22oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ N )  /  N ) )
24 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
2524, 22oveq12d 5876 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
2623, 25breq12d 4036 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
27 6nn0 9986 . . . 4  |-  6  e.  NN0
28 7nn0 9987 . . . 4  |-  7  e.  NN0
29 4nn0 9984 . . . 4  |-  4  e.  NN0
30 0nn0 9980 . . . 4  |-  0  e.  NN0
31 4lt10 9927 . . . 4  |-  4  <  10
32 6lt7 9901 . . . 4  |-  6  <  7
3327, 28, 29, 30, 31, 32decltc 10146 . . 3  |- ; 6 4  < ; 7 0
34 2cn 9816 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
35 2nn0 9982 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
36 3nn0 9983 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
37 expmul 11147 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
3 ) )
3834, 35, 36, 37mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
39 sq2 11199 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
4039eqcomi 2287 . . . . . 6  |-  4  =  ( 2 ^ 2 )
41 3p1e4 9848 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
42 4cn 9820 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
43 ax-1cn 8795 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
44 3cn 9818 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4542, 43, 44subadd2i 9134 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
4641, 45mpbir 200 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
4740, 46oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
4838, 47eqtr4i 2306 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 4 ^ (
4  -  1 ) )
49 3t2e6 9872 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
5044, 34, 49mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5150oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 2 ^ 6 )
52 2exp6 13101 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
5351, 52eqtri 2303 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  = ; 6
4
541nnne0i 9780 . . . . 5  |-  4  =/=  0
55 expm1 11151 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
5642, 54, 2, 55mp3an 1277 . . . 4  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  /  4
)
5748, 53, 563eqtr3ri 2312 . . 3  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  = ; 6
4
58 df-4 9806 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
5958oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  4 )  =  ( 2  x.  (
3  +  1 ) )
6059, 58oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  (
3  +  1 ) )
61 bcp1ctr 20518 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) ) )
6236, 61ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) )
63 df-3 9805 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6463oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 2  x.  (
2  +  1 ) )
6564, 63oveq12i 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  (
2  +  1 ) )
66 bcp1ctr 20518 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) ) )
6735, 66ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) )
68 df-2 9804 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6968oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
1  +  1 ) )
7069, 68oveq12i 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  (
1  +  1 ) )
71 1nn0 9981 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
72 bcp1ctr 20518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) )
74 1e0p1 10152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7574oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 2  x.  (
0  +  1 ) )
7675, 74oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  (
0  +  1 ) )
77 bcp1ctr 20518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
7830, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) )
7935, 30nn0mulcli 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  0 )  e. 
NN0
80 bcn0 11323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  0 )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1 )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1
8234mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
8382oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
8483, 74eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1
8574eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8684, 85oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  /  1
)
8743div1i 9488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8886, 87eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  1
8988oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
9034mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  2
9281, 91oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 )
9334mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
9492, 93eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  2
9576, 78, 943eqtri 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  2
9690oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9796, 63eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
9868eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9997, 98oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) )  =  ( 3  /  2
)
10099oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
3  /  2 ) )
101 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
10244, 34, 101divcan2i 9503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  3
103100, 102eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  3
10495, 103oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  3 )
105104, 50eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  6
10670, 73, 1053eqtri 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  6
107 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
108107oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
109 df-5 9807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  =  ( 4  +  1 )
110108, 109eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
11163eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
112110, 111oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) )  =  ( 5  /  3
)
113112oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
114 5nn 9880 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN
115114nncni 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  CC
116 3ne0 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
11734, 115, 44, 116divassi 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  5 )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
118113, 117eqtr4i 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  /  3
)
119106, 118oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  (
2  +  1 ) ) ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
12067, 119eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
121 6nn 9881 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
122121nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
123 2nn 9877 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
124123, 114nnmulcli 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  5 )  e.  NN
125124nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  e.  CC
12644, 116pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
127 div12 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  ( 2  x.  5 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) ) )
128122, 125, 126, 127mp3an 1277 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) )
129 5t2e10 9875 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
130115, 34, 129mulcomli 8844 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
131122, 44, 34, 116divmuli 9514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
13249, 131mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  /  3 )  =  2
133130, 132oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  ( 6  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
134128, 133eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
13565, 120, 1343eqtri 2307 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( 10  x.  2 )
13650oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
137 df-7 9809 . . . . . . . . 9  |-  7  =  ( 6  +  1 )
138136, 137eqtr4i 2306 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
139138, 41oveq12i 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) )  =  ( 7  /  4
)
140139oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  / 
( 3  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
7  /  4 ) )
141135, 140oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  (
3  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
14260, 62, 1413eqtri 2307 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
143 10nn 9885 . . . . . . 7  |-  10  e.  NN
144143nncni 9756 . . . . . 6  |-  10  e.  CC
145 7nn 9882 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
146145nncni 9756 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
147146, 42, 54divcli 9502 . . . . . . 7  |-  ( 7  /  4 )  e.  CC
14834, 147mulcli 8842 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) )  e.  CC
149144, 34, 148mulassi 8846 . . . . 5  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  (
2  x.  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) ) ) )
150107oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 4  x.  (
7  /  4 ) )
15134, 34, 147mulassi 8846 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
152146, 42, 54divcan2i 9503 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  7
153150, 151, 1523eqtr3i 2311 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  7
154153oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 10  x.  ( 2  x.  ( 2  x.  (
7  /  4 ) ) ) )  =  ( 10  x.  7 )
155149, 154eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  7 )
15628dec0u 10139 . . . 4  |-  ( 10  x.  7 )  = ; 7
0
157142, 155, 1563eqtri 2307 . . 3  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  = ; 7
0
15833, 57, 1573brtr4i 4051 . 2  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
)
159 nnuz 10263 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
160159uztrn2 10245 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  n  e.  NN )
1611, 160mpan 651 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  n  e.  NN )
162 nnnn0 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
163 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ n
)  e.  NN )
1641, 162, 163sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  NN )
165164nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  RR+ )
166 nnrp 10363 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
167165, 166rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR+ )
168167rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR )
169 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
170123, 169mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
171170nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
172 nnz 10045 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
173 bccl 11334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  _C  n
)  e.  NN0 )
174171, 172, 173syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  NN0 )
175174nn0red 10019 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  RR )
176 2rp 10359 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
177170peano2nnd 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
178177nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR+ )
179 peano2nn 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
180179nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
181178, 180rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
182 rpmulcl 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
183176, 181, 182sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
184168, 175, 183ltmul1d 10427 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
185 bcp1ctr 20518 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
186162, 185syl 15 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
187186breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
188184, 187bitr4d 247 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
189 2re 9815 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
190189a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
191178, 166rpdivcld 10407 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
192191rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR )
193 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ^ n
)  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  e.  NN )
194164, 123, 193sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  NN )
195194nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  RR+ )
196195, 180rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
197166rpreccld 10400 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
198 ltaddrp 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
199189, 197, 198sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
200170nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
20143a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
202 nncn 9754 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
203 nnne0 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
204200, 201, 202, 203divdird 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  n )  +  ( 1  /  n
) ) )
20534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
206205, 202, 203divcan4d 9542 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  n )  =  2 )
207206oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  n
)  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 2  +  ( 1  /  n
) ) )
208204, 207eqtr2d 2316 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n ) )
209199, 208breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) )
210190, 192, 196, 209ltmul2dd 10442 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  (
n  +  1 ) )  x.  2 )  <  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
211 expp1 11110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
21242, 162, 211sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
213164nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  CC )
214213, 205, 205mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) ) )
215107oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 )
216214, 215syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
217212, 216eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 ) )
218217oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  x.  2 )  / 
( n  +  1 ) ) )
219194nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  CC )
220179nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
221179nnne0d 9790 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
222219, 205, 220, 221div23d 9573 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
223218, 222eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
224213, 205, 202, 203div23d 9573 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 ) )
225224oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )
226177nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
227219, 202, 226, 220, 203, 221divmul24d 9579 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
228167rpcnd 10392 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  CC )
229181rpcnd 10392 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
230228, 205, 229mulassd 8858 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
231225, 227, 2303eqtr3rd 2324 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
232210, 223, 2313brtr4d 4053 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
233179nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
234 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  e.  NN )
2351, 233, 234sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  NN )
236235nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
237236, 180rpdivcld 10407 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
238237rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
239183rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
240168, 239remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
241 nn0mulcl 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
24235, 233, 241sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
243179nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
244 bccl 11334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
245242, 243, 244syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
246245nn0red 10019 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
247 lttr 8899 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
248238, 240, 246, 247syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) )  <  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
249232, 248mpand 656 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
250188, 249sylbid 206 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
251161, 250syl 15 . 2  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  <  ( ( 2  x.  n )  _C  n )  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
2522, 8, 14, 20, 26, 158, 251uzind4i 10280 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   10c10 9803   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ;cdc 10124   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ^cexp 11104    _C cbc 11315
This theorem is referenced by:  bposlem6  20528  chebbnd1lem1  20618
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316
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