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Theorem bclbnd 21066
Description: A bound on the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bclbnd  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )

Proof of Theorem bclbnd
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10137 . . 3  |-  4  e.  NN
21nnzi 10307 . 2  |-  4  e.  ZZ
3 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ 4 ) )
4 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  x  =  4 )
53, 4oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
6 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  4  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  4 ) )
76, 4oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  4  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 ) )
85, 7breq12d 4227 . 2  |-  ( x  =  4  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
) ) )
9 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ n ) )
10 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  x  =  n )
119, 10oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ n )  /  n ) )
12 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  n ) )
1312, 10oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  n  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  n )  _C  n ) )
1411, 13breq12d 4227 . 2  |-  ( x  =  n  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ n )  /  n )  < 
( ( 2  x.  n )  _C  n
) ) )
15 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ ( n  +  1 ) ) )
16 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  x  =  ( n  + 
1 ) )
1715, 16oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) ) )
18 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
1918, 16oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4227 . 2  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
4 ^ x )  =  ( 4 ^ N ) )
22 id 21 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  x  =  N )
2321, 22oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 4 ^ x
)  /  x )  =  ( ( 4 ^ N )  /  N ) )
24 oveq2 6091 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
2524, 22oveq12d 6101 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2  x.  x
)  _C  x )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
2623, 25breq12d 4227 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 4 ^ x )  /  x
)  <  ( (
2  x.  x )  _C  x )  <->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
27 6nn0 10244 . . . 4  |-  6  e.  NN0
28 7nn0 10245 . . . 4  |-  7  e.  NN0
29 4nn0 10242 . . . 4  |-  4  e.  NN0
30 0nn0 10238 . . . 4  |-  0  e.  NN0
31 4lt10 10185 . . . 4  |-  4  <  10
32 6lt7 10159 . . . 4  |-  6  <  7
3327, 28, 29, 30, 31, 32decltc 10406 . . 3  |- ; 6 4  < ; 7 0
34 2cn 10072 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
35 2nn0 10240 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
36 3nn0 10241 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
37 expmul 11427 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^
3 ) )
3834, 35, 36, 37mp3an 1280 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
39 sq2 11479 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
4039eqcomi 2442 . . . . . 6  |-  4  =  ( 2 ^ 2 )
41 3p1e4 10106 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  1 )  =  4
42 4cn 10076 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
43 ax-1cn 9050 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
44 3cn 10074 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
4542, 43, 44subadd2i 9390 . . . . . . 7  |-  ( ( 4  -  1 )  =  3  <->  ( 3  +  1 )  =  4 )
4641, 45mpbir 202 . . . . . 6  |-  ( 4  -  1 )  =  3
4740, 46oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 ) ^ 3 )
4838, 47eqtr4i 2461 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 4 ^ (
4  -  1 ) )
49 3t2e6 10130 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
5044, 34, 49mulcomli 9099 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5150oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  =  ( 2 ^ 6 )
52 2exp6 13424 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
5351, 52eqtri 2458 . . . 4  |-  ( 2 ^ ( 2  x.  3 ) )  = ; 6
4
541nnne0i 10036 . . . . 5  |-  4  =/=  0
55 expm1 11431 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  / 
4 ) )
5642, 54, 2, 55mp3an 1280 . . . 4  |-  ( 4 ^ ( 4  -  1 ) )  =  ( ( 4 ^ 4 )  /  4
)
5748, 53, 563eqtr3ri 2467 . . 3  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  = ; 6
4
58 df-4 10062 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
5958oveq2i 6094 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  4 )  =  ( 2  x.  (
3  +  1 ) )
6059, 58oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  (
3  +  1 ) )
61 bcp1ctr 21065 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) ) )
6236, 61ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 3  +  1 ) )  _C  ( 3  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) ) ) )
63 df-3 10061 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6463oveq2i 6094 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 2  x.  (
2  +  1 ) )
6564, 63oveq12i 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  (
2  +  1 ) )
66 bcp1ctr 21065 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) ) )
6735, 66ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) ) ) )
68 df-2 10060 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6968oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
1  +  1 ) )
7069, 68oveq12i 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  (
1  +  1 ) )
71 1nn0 10239 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
72 bcp1ctr 21065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) ) )
7371, 72ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  ( 1  +  1 ) )  _C  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) ) ) )
74 1e0p1 10412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
7574oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 2  x.  (
0  +  1 ) )
7675, 74oveq12i 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  (
0  +  1 ) )
77 bcp1ctr 21065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
7830, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  ( 0  +  1 ) )  _C  ( 0  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) ) ) )
7935, 30nn0mulcli 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  0 )  e. 
NN0
80 bcn0 11603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  0 )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1 )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  =  1
8234mul01i 9258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
8382oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 )
8483, 74eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  =  1
8574eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  +  1 )  =  1
8684, 85oveq12i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  /  1
)
8743div1i 9744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  /  1 )  =  1
8886, 87eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  ( 0  +  1 ) )  =  1
8988oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  1 )
9034mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
9189, 90eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  / 
( 0  +  1 ) ) )  =  2
9281, 91oveq12i 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  2 )
9334mulid2i 9095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
9492, 93eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  0 )  _C  0 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  0 )  +  1 )  /  (
0  +  1 ) ) ) )  =  2
9576, 78, 943eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  =  2
9690oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
9796, 63eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
9868eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9997, 98oveq12i 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  ( 1  +  1 ) )  =  ( 3  /  2
)
10099oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
3  /  2 ) )
101 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
10244, 34, 101divcan2i 9759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 3  / 
2 ) )  =  3
103100, 102eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  / 
( 1  +  1 ) ) )  =  3
10495, 103oveq12i 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  3 )
105104, 50eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  _C  1 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  /  (
1  +  1 ) ) ) )  =  6
10670, 73, 1053eqtri 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  =  6
107 2t2e4 10129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
108107oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  ( 4  +  1 )
109 df-5 10063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  =  ( 4  +  1 )
110108, 109eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  =  5
11163eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  =  3
112110, 111oveq12i 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  ( 2  +  1 ) )  =  ( 5  /  3
)
113112oveq2i 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
114 5nn 10138 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN
115114nncni 10012 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  CC
116 3ne0 10087 . . . . . . . . . . 11  |-  3  =/=  0
11734, 115, 44, 116divassi 9772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  5 )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
5  /  3 ) )
118113, 117eqtr4i 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  / 
( 2  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  /  3
)
119106, 118oveq12i 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  2 )  _C  2 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  2 )  +  1 )  /  (
2  +  1 ) ) ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
12067, 119eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  ( 2  +  1 ) )  _C  ( 2  +  1 ) )  =  ( 6  x.  (
( 2  x.  5 )  /  3 ) )
121 6nn 10139 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
122121nncni 10012 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
123 2nn 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
124123, 114nnmulcli 10026 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  5 )  e.  NN
125124nncni 10012 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  e.  CC
12644, 116pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
127 div12 9702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 6  e.  CC  /\  ( 2  x.  5 )  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) ) )
128122, 125, 126, 127mp3an 1280 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  (
6  /  3 ) )
129 5t2e10 10133 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
130115, 34, 129mulcomli 9099 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
131122, 44, 34, 116divmuli 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  /  3 )  =  2  <->  ( 3  x.  2 )  =  6 )
13249, 131mpbir 202 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  /  3 )  =  2
133130, 132oveq12i 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  ( 6  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
134128, 133eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( 6  x.  ( ( 2  x.  5 )  / 
3 ) )  =  ( 10  x.  2 )
13565, 120, 1343eqtri 2462 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  =  ( 10  x.  2 )
13650oveq1i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  ( 6  +  1 )
137 df-7 10065 . . . . . . . . 9  |-  7  =  ( 6  +  1 )
138136, 137eqtr4i 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  =  7
139138, 41oveq12i 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  ( 3  +  1 ) )  =  ( 7  /  4
)
140139oveq2i 6094 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  / 
( 3  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
7  /  4 ) )
141135, 140oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  _C  3 )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  3 )  +  1 )  /  (
3  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
14260, 62, 1413eqtri 2462 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  =  ( ( 10  x.  2 )  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
143 10nn 10143 . . . . . . 7  |-  10  e.  NN
144143nncni 10012 . . . . . 6  |-  10  e.  CC
145 7nn 10140 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  NN
146145nncni 10012 . . . . . . . 8  |-  7  e.  CC
147146, 42, 54divcli 9758 . . . . . . 7  |-  ( 7  /  4 )  e.  CC
14834, 147mulcli 9097 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) )  e.  CC
149144, 34, 148mulassi 9101 . . . . 5  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  (
2  x.  ( 2  x.  ( 7  / 
4 ) ) ) )
150107oveq1i 6093 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 4  x.  (
7  /  4 ) )
15134, 34, 147mulassi 9101 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 7  /  4 ) ) )
152146, 42, 54divcan2i 9759 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( 7  / 
4 ) )  =  7
153150, 151, 1523eqtr3i 2466 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  7
154153oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( 10  x.  ( 2  x.  ( 2  x.  (
7  /  4 ) ) ) )  =  ( 10  x.  7 )
155149, 154eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 10  x.  2 )  x.  ( 2  x.  ( 7  /  4
) ) )  =  ( 10  x.  7 )
15628dec0u 10399 . . . 4  |-  ( 10  x.  7 )  = ; 7
0
157142, 155, 1563eqtri 2462 . . 3  |-  ( ( 2  x.  4 )  _C  4 )  = ; 7
0
15833, 57, 1573brtr4i 4242 . 2  |-  ( ( 4 ^ 4 )  /  4 )  < 
( ( 2  x.  4 )  _C  4
)
159 nnuz 10523 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
160159uztrn2 10505 . . . 4  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  n  e.  NN )
1611, 160mpan 653 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  n  e.  NN )
162 nnnn0 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
163 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ n
)  e.  NN )
1641, 162, 163sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  NN )
165164nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  RR+ )
166 nnrp 10623 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
167165, 166rpdivcld 10667 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR+ )
168167rpred 10650 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  RR )
169 nnmulcl 10025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  NN )
170123, 169mpan 653 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
171170nnnn0d 10276 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN0 )
172 nnz 10305 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
173 bccl 11615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  NN0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  _C  n
)  e.  NN0 )
174171, 172, 173syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  NN0 )
175174nn0red 10277 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  _C  n )  e.  RR )
176 2rp 10619 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
177170peano2nnd 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  NN )
178177nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR+ )
179 peano2nn 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
180179nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  RR+ )
181178, 180rpdivcld 10667 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
182 rpmulcl 10635 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
183176, 181, 182sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR+ )
184168, 175, 183ltmul1d 10687 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
185 bcp1ctr 21065 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
186162, 185syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
187186breq2d 4226 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( ( 2  x.  n )  _C  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
188184, 187bitr4d 249 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  <->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
189 2re 10071 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
190189a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
191178, 166rpdivcld 10667 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR+ )
192191rpred 10650 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  e.  RR )
193 nnmulcl 10025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ^ n
)  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  e.  NN )
194164, 123, 193sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  NN )
195194nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  RR+ )
196195, 180rpdivcld 10667 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
197166rpreccld 10660 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR+ )
198 ltaddrp 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
199189, 197, 198sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( 2  +  ( 1  /  n ) ) )
200170nncnd 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
20143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
202 nncn 10010 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
203 nnne0 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
204200, 201, 202, 203divdird 9830 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n )  =  ( ( ( 2  x.  n )  /  n )  +  ( 1  /  n
) ) )
20534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
206205, 202, 203divcan4d 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  /  n )  =  2 )
207206oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  /  n
)  +  ( 1  /  n ) )  =  ( 2  +  ( 1  /  n
) ) )
208204, 207eqtr2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  +  ( 1  /  n ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n ) )
209199, 208breqtrd 4238 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  2  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) )
210190, 192, 196, 209ltmul2dd 10702 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  (
n  +  1 ) )  x.  2 )  <  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
211 expp1 11390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
21242, 162, 211sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
213164nncnd 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ n )  e.  CC )
214213, 205, 205mulassd 9113 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) ) )
215107oveq2i 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4 ^ n )  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 )
216214, 215syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  =  ( ( 4 ^ n )  x.  4 ) )
217212, 216eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 ) )
218217oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  x.  2 )  / 
( n  +  1 ) ) )
219194nncnd 10018 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  x.  2 )  e.  CC )
220179nncnd 10018 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
221179nnne0d 10046 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  =/=  0 )
222219, 205, 220, 221div23d 9829 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  x.  2 )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
223218, 222eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  2 ) )
224213, 205, 202, 203div23d 9829 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 ) )
225224oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  (
n  +  1 ) ) ) )
226177nncnd 10018 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
227219, 202, 226, 220, 203, 221divmul24d 9835 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  x.  2 )  /  n
)  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
228167rpcnd 10652 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ n
)  /  n )  e.  CC )
229181rpcnd 10652 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
230228, 205, 229mulassd 9113 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  2 )  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
231225, 227, 2303eqtr3rd 2479 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 4 ^ n
)  x.  2 )  /  ( n  + 
1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  n
) ) )
232210, 223, 2313brtr4d 4244 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) ) )
233179nnnn0d 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN0 )
234 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  e.  NN )
2351, 233, 234sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  NN )
236235nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
4 ^ ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
237236, 180rpdivcld 10667 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR+ )
238237rpred 10650 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
239183rpred 10650 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
240168, 239remulcld 9118 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
241 nn0mulcl 10258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0 )
24235, 233, 241sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
243179nnzd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
244 bccl 11615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  NN0  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
245242, 243, 244syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  NN0 )
246245nn0red 10277 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
247 lttr 9154 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  /\  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
248238, 240, 246, 247syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ ( n  + 
1 ) )  / 
( n  +  1 ) )  <  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  x.  ( 2  x.  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( n  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  ( 2  x.  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  ( n  +  1 ) ) ) )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( (
4 ^ ( n  +  1 ) )  /  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  (
n  +  1 ) ) ) )
249232, 248mpand 658 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( 4 ^ n )  /  n )  x.  (
2  x.  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( n  + 
1 ) ) ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
250188, 249sylbid 208 . . 3  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( 4 ^ n )  /  n
)  <  ( (
2  x.  n )  _C  n )  -> 
( ( 4 ^ ( n  +  1 ) )  /  (
n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  _C  ( n  + 
1 ) ) ) )
251161, 250syl 16 . 2  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ n
)  /  n )  <  ( ( 2  x.  n )  _C  n )  ->  (
( 4 ^ (
n  +  1 ) )  /  ( n  +  1 ) )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  _C  ( n  +  1 ) ) ) )
2522, 8, 14, 20, 26, 158, 251uzind4i 10540 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   5c5 10054   6c6 10055   7c7 10056   10c10 10059   NN0cn0 10223   ZZcz 10284  ;cdc 10384   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ^cexp 11384    _C cbc 11595
This theorem is referenced by:  bposlem6  21075  chebbnd1lem1  21165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596
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